圆的方程

精品资料欢迎下载圆的方程【学问要点】一、圆的标准方程1、圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合.由此我们可知：以点C〔a,b〕为圆心，以222r为半径的圆的标准方程为〔x〔yb〕r.a〕2、圆的标准方程的推导设圆心为C〔a,b〕，半径为r，点M满意的条件为PMMCr.由两点距离公式可知，点M〔x,满意的条件为〔x2〔yb〕r.y〕a2〕把上式两边平方，得：22〔x〔yb〕ra2〕即圆的彼岸准方程为〔x2〔yr.ab22〕〕3、圆的标准方程的特点圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小.确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.在确定圆的过程中，假如由已知条件简单求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.4、圆的几个特殊位置的标准方程222（1）圆心在原点O，半径为r的圆的标准方程为xyr；〔0,0〕 2（2）半径为r且与x轴相切于点的圆的标准方程为〔x〔yr；〔a,0〕ar22〕〕2（3）半径为r且与y轴相切于点〔0,b〕的圆的标准方〔x〔yr；程为rb22〕〕 精品资料欢迎下载（4）半径为r且与x轴、y轴都相切的圆的标准方程为〔x2〔yr.rr22〕〕二、圆的一般方程1、方程Ax22BxyCyDxEyF0表示圆的充要条件二元二次方程22AxBxyCyDxEyF0表示圆的充要条件为：①AC0；②B0；22③DE4AF0.其中，条件①与条件②皆为二元二次方程22AxBxyCyDxEyF0表示圆的必要条件.由于如二元二次方程22AxBxyCyDxEyF0仅满意条件①与条件②，那么二元二次方程Ax22BxyCyDxEyF0可以转化为DEF22xy0.xyAAA22DEDE4AF2对上式配方可得：〕〔y22〕4A〔x2A2AD22,E（i）当DE4AF0时，原方程表示一个点〔〕；2A2A22（ii）当DE4AF0时，原方程不表示任何图形；22DE（iii）当DE4AF0时，原方程表示一个圆，其圆心为C〔,〕2A，2A22DE4AF半径为r.2A2、圆的一般方程2222二元二次方程xyDxEyF0表示圆的充要条件为：DE4F0.22对二元二次方程xyDxEyF0，配方可得：22DEDE4F22〔x〕〔y〕224 精品资料欢迎下载DE22（i）当DE4F0时，原方程表示一个点〔,〕；2222（ii）当DE4F0时，原方程不表示任何图形；22DE（iii）当DE4F0时，原方程表示一个圆，其圆心为C〔,〕，半径2222DE4F为r.22222因而，当DE4F0时，我们把方程xyDxEyF0叫作圆的一般方程.3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：2222把圆的一般方程：xyDxEyF0（留意隐含条件：DE4F0）22DEDE4F22配方可得圆的标准方程：〔x〕〔y〕；224（2）圆的标准方程化为圆的一般方程：2把圆的标准方程：〔x〔yr绽开可得圆的一般方程：ab22〕〕22222xy2ax2byabr0.三、点与圆的位置关系1、平面内一点与圆的位置关系的判定2已知圆的方程为〔x〔yr，明显圆心为C〔a,b〕，半径为r，那么平ab面22〕〕22内一点P〔x,y〕〔x〔yb〕r的位置关系有：与圆2a〕00222（1）点P在圆上〔xa〕〔yb〕rPCr；00222（2）点P在圆内〔xa〕〔yb〕rPCr；00222（3）点P在圆外〔xa〕〔yb〕rPCr.00 精品资料欢迎下载2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离平面内一点P到圆上的点的最大距离为PCr；点P到圆上的点的最小距离为PCr（其中，C为圆的圆心，r为圆的半径）.四、确定圆的方程的方法确定圆的方程的重要方法是待定系数法.1、假如已知条件中圆心的位置易于确定，就可以挑选圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a、b、r的方程组，求出a、b、r的值，或直接求出圆心〔a,b〕及半径r.一般步骤如下：2Step1：依据题意，设所求圆的标准方程为〔x〔yb〕r；a22〕Step2：依据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心〔a,b〕及半径r，这样的话，将会大大削减运算量.一般可以利用圆心的三个几何性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在某一条弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.2、假如已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，就可以挑选圆的一般方程列22方程组、求系数.在圆的一般方程xyDxEyF0中，含有三个相互独 精品资料欢迎下载立的参数D、E、F，因此，必需具备三个独立的条件才能通过列出关于D、E、F的方程组，求出D、E、F的值，最终确定出圆的一般方程.一般步骤如下：Step1：依据题意，设所求圆的一般方程为22xyDxEyF0；Step2：依据已知条件，建立关于D、E、F的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.五、圆的直径式方程的求法设A〔x1,y1〕、B〔x2,y2〕是圆的某条直径的两个端点，P〔x,y〕为圆上任意异于点A、B的一点，就APB90，即PAPB，于是有kk1，而kyy1PAPBPA，xx1yy2yy1yy21，故有〔xx〕〔xx〕〔y〕0，此k，y〕〔yyPB1222xx2xx1xx2即圆的直径式方程.六、常见的圆系方程1、过定直线与定圆的交点的圆系方程22过定直线l：AxByC0和定圆xyDxEyF0的交点的圆系方程为22xyDxEyFa〔AxByC〕0.2、过两圆的交点的圆系方程2222过两圆xyD1xE1yF10和xyD2xE2yF20的交点的圆系方程2222为xyDxEyF〔xyDxEyF〕0，特殊地，当1时，111222该方程表示两圆公共弦所在直线的方程. 精品资料欢迎下载【例题解析】题型1圆的定义221、如方程ax〔a2〕2axa0表示圆，就a.2y22ax2〕2axa0解：方程表示圆2y〔a2aa2a1或a222a1222x10（x1〕y2（ⅰ）如，就原方程即为xy，亦即，表示圆；2220x210（ⅱ）如a2，就原方程即为4x4y4x2，亦即yx2〔〕1D1,E0,F这里，2.22由于DE4F10210因此，方程〔〕不表示任何图形；故a1题型2圆心到直线的距离222、圆xy2x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，就a.24x21〔y解：圆-y2x8y130的标准方程为3，圆心为（1，3〕4〔x22〕4）圆心（1，4）到直线axy10的距离为1a14141a2a13题型3圆的标准方程和一般方程3、经过坐标原点和点P，且圆心在直线2x3y10上的圆的方程为〔1,1〕 精品资料欢迎下载.101kop1〔,解：10，OP中点为1〕2211〔x1yxOP的中垂线方程为212，即xy10〕2所求圆的圆心在直线2x3y10上，而弦OP的中垂线也过圆心2x3y10x4xy10y3联立可得，此即所求圆的圆心为（4，-3）2r〔4〔30〕5又圆的半径02〕2故圆的方程为4〔y3〕25〕〔x24、经过点A3,2〕B〔5,且圆心在直线2xy30上的圆的方程为，2〕〔.22kAB2解：5，AB中点为4,0〕〔〔3〕1y0x4〕AB的中垂线方程为〔，即2y402x所求圆的圆心在直线2xy30上，而弦AB的中垂线也过圆心2xy30x2x2y40y1联立可得，此即所求圆的圆心为（-2，-1）22r2〔〔12〕10又圆的半径3〕2故圆的方程为2〔y1〕10〕〔x2 5、如圆心在x轴上、半径为5的O位于y轴左侧，且与直线x2y就O的方程为.0相切；解：设圆心为〔a,0〕，由题意知，a0 精品资料欢迎下载Ox2y0与直线相切x0圆心〔a,0〕到直线的距离等于半径2ya205a522于是有12，舍去a522故O的方程为5〕y5〔x6、已知圆的半径为10，圆心在直y2x上，且圆被直线yx所截得的弦长线为42；就圆的标准方程为.解：由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形422d〔〔〕2因此弦心距1022〕又所求圆的圆心在直线y2x上所以可设所求圆的圆心为〔a,2a〕2aa2a222于是有11222故所求圆的标准方程为〔y10或〔y4〕10〕4〔x〕222〔x〕7、经过P〔2,4〕，Q〔3,1〕两点，且在x轴上所截得的弦长为6的圆的方程为.22xyDxEyF0解：设所求圆的方程为由于圆过P〔2,4〕，Q〔3,1〕两点因此2D4EF200①，3DEF100②又圆被x轴所截得的弦长为6，设该弦左端点为A〔x1,0〕,右端B〔x2,0〕点为 x1x26就 精品资料欢迎下载22xyDxEyF0y02由得，xDxF0x1x2D,x1x2F于是由x1x2624F36③，有D由①②③得，D2,E4,F8或D6,E8,F02222xy2x4y80xy6x8y0故所求圆的方程为或8、经过P2〕，1,3〕两点，且在y轴上所截得的弦长43的圆的方程为〔4,Q〔为.22xyDxEyF0解：设所求圆的方程为由于圆过P2〕，1,3〕两点〔4,Q〔因此4D2EF200①，D3EF100②又圆被y轴所截得的弦长为43，设该弦上顶点为A〔0,y1〕，下顶B〔0,y2〕点为y1y243就22xyDxEyF02由x0得，yEyF0y1y2E，y1y2Fy1y24324F48③于是由，有E由①②③得，D2,E0,F12或D10,E8,F42222故所求圆的方程为xy2x120或xy10x8y40题型4与圆的有关的最值问题229、在圆xy2x6y0内，过点E〔0,1〕的最长弦和最短弦分别为AC和BD；就四边形ABCD的面积为. 精品资料欢迎下载22解：圆xy2x6y0，即1〔y10，圆心为F〔1,3〕，半径r10〕3〔x22〕02EF〔31〕5〕2〔122xy2x6y0E〔0,1〕的最长弦为2r210圆内过点，AC22BD2BE2rEF210525最短弦为.111S四边形ABCD2SABC2ACBEACBD21025102故222【方法总结】（ⅰ）直径是圆内最长弦；在全部过圆内某点的弦当中，垂直于过该点的直径的弦最短；下证：ACBD22222BEEFBFBE510BE5cosBEF2BEEF2BE525BE证明：22222DEEFDFDE510DE5cosDEF2DEEF2DE525DEBEFDEF18022BE5DE5cosBEFcosDEF0025BE25DE22BEDE5DEDEBE5BE0BEDE〔BDE5DEBEDE5E〕〔B〕E2〔BDE〔2BEDE〔220BEDEBD〕2〕25，当且仅当“”而E2〕时，“”成立；这说明，当BD取得最小值25时，BEDE.又AC是圆内过点E的直径故ACBD （2）对角线相互垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半； 精品资料欢迎下载2210、已知实数x,y满意方程xy4x10.y（1）求x的最大值和最小值；yx（2）求的最大值和最小值；22（3）求xy最大值和最小值.2222xy4x102〕y3解：方程，即表示圆，该圆圆心为〔2,0〕，半〔x径r3yky（1）令x，就kxy0kx22当直线kxy0与圆2〕y3相切时，其斜率k取得最大值和最小值〔x2k03k322k1〕于是有〔yy33故xmax，xmin（2）令yxb，就xyb022当直线xyb0与圆2〕y3相切时，其斜率k取得最大值和最小值〔x20bb263221〔1〕于是有故yxmax26，yxmin2622xy（3）表示圆上的点与坐标原点之间的距离的平方22由平面几何学问知，xy在坐标原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值由于坐标原点到圆心的距离为22r〕222xy〔2r〕因此max222xymin〔〔2 〔23〕2743；23〕743. 精品资料欢迎下载【方法总结】与圆有关的最值问题，可借助图形，利用数形结合求解；一般地：yb（ⅰ）形如xa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（ⅱ）形如axby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；2（ⅲ）形如〔x〔yb〕的最值问题，可转化为两点之间的距离的平方的a2〕最值问题；题型5圆的参数方程的应用x45cos11、（1）把圆的参数方程y35sin（为参数）化为标准方程；22yxy2x4y0xy（2）如实数x，满意，求的最大值.x45cosx45cosy35siny35sin解：（1）由得，422252于是有〔y25cos25sinsin〕252〔x〕3〔cos22〕2故所求圆的标准方程为4〔y3〕25〕2〔x2222（2）将圆xy2x4y0的一般方程变形为标准方程〔x1〕2〕5〔yx15cosx15cosy25sin（为参数）y25sin于是该圆的参数方程为于是xy5cos〕〔25sin〕35cos5sin〔13335sincos〕352sin〕310sin〕310〔〔4〔4故xy的最大值为310题型6与圆的有关的综合问题 11112、曲线22，以下说法中不正确选项（）C：xy 精品资料欢迎下载A.曲线C关于原点对称B.曲线C关于直线xy0对称C.曲线C是封闭的，且封闭图形的面积大于2D.曲线C与曲线D：xy22有四个交点，这四个交点构成的图形是正方形111解：对于A：设P,是曲线C：x2y2上任意一点〔x0y0〕11122xy就00设点Q为点P〔x0,关于坐标原点的对称点y0〕就Qx0,y0〕〔111112222〔x0〕〔y0〕x0y0111点Qx0,y022上也在曲线C：xy〕〔故曲线C关于原点对称111对于B：设Py0是曲线C：x2y2上任意一点〔x0,〕11122xy就00设点Q为点P〔x0,关于直线xy0，即yx的对称点y0〕Q〔y0,就x0〕111112222y0x0x0y0111上 Q〔y0,也在曲线22点C：xyx0〕 精品资料欢迎下载故曲线C关于直线xy0对称111对于C：设Py0是曲线C：x2y2上任意一点〔x0,〕11122x0y0就22x1y1x〔1,〕,y〔1,〕,1〕〔1〔〕于是有0，00，0111故曲线22yC：xy不是封闭图形（是封闭图形的话，x、的取值范畴是有限区间）111xy22对于D：明显，曲线：2y2与曲线D：都关于坐标原点、xCx轴、y轴对称，并且它们有四个交点，分别为〔2,2〕,2,2〕,2,2〕,〔2〕，而这四个交点恰好是一个正方形的四〔〔2,个顶点故这四个顶点构成的图形是正方形注：证明：点〔x0,y0〕关于直x的对称点为〔y0,x0〕y线证：设P〔x0,y0〕，Q〔m,Py0关于直线yx的对称点〔x0,〕n〕为点y0n11xmy0x0mn就0y0nx0my0x0mn22x0〕〔x0y〔x0〔x0〕m0nx02y0〕，y0〕y0〔2y0于是故Q〔m,Q〔y0,x0〕，P〔x0,关于直线yx的对称点为Q〔y0,x0〕y0〕n〕即点 13、已知两点A，B〔2,m〕，如经过点A和点B，且与x轴相切的圆有且只〔0,1有〕 精品资料欢迎下载一个，求m的值及圆的方程.a2解：由题意可设所求圆的方程为〔yb0〕）2〕b（〔b2〕〔x就由该圆过A〔0,1〕，B〔2,m〕两点，有22a〔1b222〔1m〕a4amm40〔〕22b〕b〕b2〔2a〕〔m124a40a1,b〔11〕1（ⅰ）当m1时，方程〕即为2〔2此时所求圆的方程为1〔y1〕1〕2〔x（ⅱ）当m1时，由方程〕〔4m〕m4〕0有唯独解，2〔4〔〔m有2〕12即m2m5〕0〔m2而m2m50，所以m0125a24a40a2,b〔21〕代入方程〕中，得22〔225〔x2〕〔y5〕2此时所求圆的方程为24故当m1时，所求圆的方程为1〔y1；当m0时，所求圆的方程为〕1〔x22〕〔x5225〔y〕224.2〕1x2A〔x,,y0C〔x,ym014、设y〕y，，如AC，就my〕x的取值范畴为. 22解：（法一）曲线y1x，y0，即xy1，y0表示圆心为〔0,0〕，半径r1的下半圆周（不包含两个端点〔1,0〕，〔1,0〕）xym0，即yxmyxm直线l：，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0 精品资料欢迎下载时，由直线yx向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点〔1,时，有10m0m10〕222当直线l：xym0与曲线C：y1x，y0，即下半圆周xy1，00mmdr1y0相切时，圆心〔0,0〕到直线l：xy0的距离22211mm2或m2（舍去）2y1xy0xym0又曲线C：，与直线l：有公共点故2m1，即m的取值范畴为[2,1〕222（法二）对于曲线C：y1x，即下半圆周xy1，y0，xcos令ysin，2就点M,sin〔,2〕是曲线C上的点〕〔cos，2曲线C：y1x，y0与直线l：xym0有公共点方程cossinm0在,2上有解〔〕mcossinsincos2sin〔〕于是有4又25944421sin〔〕于是42故2m1，即m的取值范畴为[2,1〕2注：（1）当曲线C：y1x与直线l：xym0有且仅有一个公共点时，可求得m的取值范畴为[1,1〕 2；解法如下： 精品资料欢迎下载222曲线y1xy0，即xy1y0表示圆心为〔0,0〕，半1的下，，径r半圆周（不包含两个端点〔1,0〕，〔1,0〕）xym0，即yxmyxm直线l：，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0时，由直线yx向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点1,0〕时，10m0m1〔有当直线l：xym0过点〔1,时，有10m0m10〕222当直线l：xym0与曲线C：y1x，即下半圆周xy1，y000mmdr1相切时，圆心〔0,0〕到直线ym0的距离12122l：xm2或m2（舍去）2y1xxym0又曲线C：与直线l：有且仅有一个公共点故1m1或m2，即m的取值范畴为[1,1〕22（2）当曲线C：y1x与直线l：xym0有两个公共点时，可求得m的取值范畴为2,；解法如下：〔1〕222曲线y1xy0，即xy1，y0表示圆心为〔0,0〕，半1的下，径r半圆周（不包含两个端点〔1,0〕，〔1,0〕）直线l：xym0，即yxm，可以看作是由直线yx上下平移m个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0时，由直线yx向下平移m个单位得到）xym0〔1,0〕当直线l：过点时，有 10m0m1222当直线l：xym0与曲线C：y1x，即下半圆周xy1，y0 精品资料欢迎下载00mmdr1相切时，圆心〔0,0〕到直线ym0的距离22112l：xm2或m2（舍去）2又曲线C：y1x与直线l：xym0有两个公共点故2m1，即m的取值范畴为2,1〕〔2xym0y1x15、如直线l：与曲线C：有公共点，就m的取值范畴为.222解：（法一）曲线C：y1x，即xy1，y0表示圆心为C〔0,0〕，半径r1的上半圆周（包含两个端点〔1,0〕，〔1,0〕）直线l：xym0，即yxm，可以看作是由直线yx上下平移m个单yx位得到的（详细而言，当m0时，由直线向上平移m个单位得到；当m0yx时，由直线向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点1,0〕时，10m0m1〔有222当直线l：xym0与曲线C：y1x，即上半圆周xy1，y0相切时，00mmdr1圆心C〔0,0〕到直线ym0的距离12122l：xm2或m2（舍去）2又直线l：xym0与曲线C：y1x有公共点故1m2，即m的取值范畴为[1,2]222（法二）对于曲线C：y1x，即上半圆周xy1，y0，xcos ysin令，0 精品资料欢迎下载就点M,sin[0,]是曲线C上的点〕〔cos，222直线l：xym0与曲线C：y1x，即上半圆周xy1，y0有公共点方程cossinm0在[0,]上有解mcossinsincos2sin〔〕于是有4又054442sin〔〕1于是24故1m2，即m的取值范畴为[1,2]2注：（1）当直线l：xym0与曲线C：y1x有且仅有一个公共点时，[1,12可求得m的取值范畴为；解法如下：〕222曲线C：y1x，即xy1，y0表示圆心为C〔0,0〕，半1的上半径r圆周（包含两个端点〔1,0〕，〔1,0〕）直线l：xym0，即yxm，可以看作是由直线yx上下平移m个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0yx时，由直线向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点1,0〕时，10m0m1〔有当直线l：xym0过点〔1,时，有10m0m10〕222当直线l：xym0与曲线C：y1x，即上半圆周xy1，y0相切时， 精品资料欢迎下载00mmdr1圆心C〔0,0〕到直线ym0的距离12122l：xm2或m2（舍去）2又直线l：xym0与曲线C：y1x有且仅有一个公共点[1,1〕2故1m1或m2，即m的取值范畴为2（2）当直线l：xym0与曲线C：y1x有两个公共点时，可求得m的取值范畴为[1,2〕；解法如下：222曲线C：y1x，即xy1，y0表示圆心为C〔0,0〕，半1的上半径r圆周（包含两个端点〔1,0〕，〔1,0〕）xym0，即yxmyxm直线l：，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0时，由直线yx向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点〔1,时，有10m0m10〕222当直线l：xym0与曲线C：y1x，即上半圆周xy1，y0相切时，00mmdr122圆心C〔0,0〕到直线ym0的距离112l：xm2或m2（舍去）2又直线l：xym0与曲线C：y1x有两个公共点故1m2，即m的取值范畴为[1,2〕216、已知曲线C：yx2x与直线l：xym0有两个交点，就m的取值范畴为.，即 222解：曲线C：yx2x1〕y1，y0表示圆心为C1,0〕，〔x〔半 精品资料欢迎下载径r1的上半圆周（包含两个端点〔2,0〕，〔0,0〕）直线l：xym0，即yxm，可以看作是由直线yx上下平移m个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0yx时，由直线向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点〔0,0〕时，有00m0m0222当直线l：xym0与曲线C：yx2x，即上半圆周1〕y1，y0〔x10mm1dr1相切时，圆心C1,0〕到直线l：xym0的距离22211〔m21或m2（1舍去）2yx2xxym0又曲线C：与直线l：有两个交点故0m21，即m的取值范畴为[0,21〕2注：（1）当曲线C：yx2x与直线l：xym0有交点时，可求得m的取值范畴为[2,21]；解法如下：222（法一）曲线C：yx2x，即1〕y1，y0表示圆心为C1,0〕〔x〔，半径r1的上半圆周（包含两个端点〔2,0〕，〔0,0〕）xym0，即yxmyxm直线l：，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0时，由直线yx向下平移m个单位得到）当直线l：xym0过点2,0〕时，20m0m2〔有222当直线l：xym0与曲线C：yx2x，即上半圆周1〕y1，y0〔x相切时，圆心C〔1,0〕到直线l：xy 10mm1dr1m0的距离22211 精品资料欢迎下载m21或m2（1舍去）2又曲线C：yx2x与直线l：xym0有交点故2m21，即m的取值范畴为[2,21]222（法二）对于曲线C：yx2x，即上半圆周〔xy1，y0，1〕x1cosxcos1ysinysin令，即，0就点M1,sin[0,]是曲线C上的点〕〔cos，22直线l：xym0与曲线C：yx2x，即上半圆周〔x1〕1，y0有公2y共点方程cos1sinm0在[0,]上有解mcos1sinsincos12sin〔〕1于是有4又054442sin〔〕1于是24故2m21，即m的取值范畴为[2,21]2yx2xxym0（2）当曲线C：与直线l：有且仅有一个交点时，可求得m的取值范畴为[1,021；解法如下：〕222曲线C：yx2x，即1〕y1，y0表示圆心为C1,0〕，半径r1〔x〔的上半圆周（包含两个端点〔2,0〕，〔0,0〕）xym0，即yxmyxm直线l：，可以看作是由直线上下平移个单位得到的（详细而言，当m0时，由直线yx向上平移m个单位得到；当m0 yx时，由直线向下平移m个单位得到） 精品资料欢迎下载当直线l：xym0过点2,0〕时，20m0m2〔有当直线l：xym0过点〔0,0〕时，有00m0m0222当直线l：xym0与曲线C：yx2x，即上半圆周1〕y1，y0〔x10mm1dr1相切时，圆心C1,0〕到直线l：xym0的距离22211〔m21或m2（1舍去）2yx2xxm0又曲线C：与直线l：y有且仅有一个交点故2m0并且m21，即m的取值范畴为[2,0〕2117、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M〔2,0〕，AB边所在的直线方程为x3y60，点T1,1〕在AD边所在的直线上.〔（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD的外接圆的方程.（3）如动圆P过点N2,0〕，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的〔轨迹方程.x3y60解：（1）由AB边所在的直线方程为，且ADAB，有1kAD1k3AD3由点T1,1〕在AD边所在的直线上，可得AD边所在直线的方程为〔y13[x〔3x3，此即3xy201〕]（2））矩形ABCD的两条对角线相M〔2,0〕M〔2,0〕交于点点为矩形ABCD的外接圆的圆心 x3y60x0联立3xy20，得y2，即点A的坐标为〔0,2〕2rAM〔2[02〕]22于是所求圆的半径02〕〔 精品资料欢迎下载22故矩形ABCD的外接圆的方程为2〕y8〔x（3））动圆P过点N〔2,0〕，且与矩形ABCD的外接圆外切PNPMPN22动圆P的半径等于，且（注：点P必在x轴左侧）PMPN22MN422由此有，而所以点P的轨迹是以N〔M〔2,0〕为左、右焦点的双曲线的左支，其中2,0〕、2222a22，2c4a2，c2于是bca222xy1故动圆P的圆心的轨迹方程为22（x2）222218、设圆C与两圆5〕y4，5〕y4中的一个内切，另一个外〔x〔x切；（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；4M5,5〕（2）已知点35，5,0，且P为圆心轨迹L上一个动点，求〔〕5F〔MPFP的最大值及此时点P的坐标.解：（1）设圆C的圆心坐标为C〔x,y〕，半径为r22圆5〕y4的圆心为F15,0〕，半径为2；〔x〔22圆5〕y4的圆心为F25,0，半径为2〔x〔〕2222由圆C与两圆5〕y4，5〕y4中的一个内切，另一个外切，〔x〔xCF1r2CF1r2CF2r2CF2r2有或于是有CF1CF24，而F1F2254 所以圆C的圆心轨迹L是以F15,0〕，5,0〕为焦点的双曲线，其中2a4，〔F2〔2222c252，c5bca541，即a 精品资料欢迎下载2x2y1故圆C的圆心轨迹L的方程为4MPFPMF（2）在MPF中，；MPFPMF当M、F、P三点共线，且点P在MF的延长线上时，取得最大值，342424MF〔55〔50〔5〕〔5〕162且5〕5〕2555，22545055〕2x25〔y3x55FP2MPmax，此时直线MF的方程为5即2x2y14y2联立2x25得15x325x840614xP5xP5解得：5或15（舍去）122y5255P代入y2x25中得，552P5,于是点P的坐标为6〔5〕5562P〔5,5〕FPMP取得最大值2时，点P的坐标为55.故当