圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上重点二、点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d0时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F0．重点五、求轨迹方程的五个步骤：①建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；③列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；④化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；⑤查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．【典题精练】考点1、求圆的标准方程例1．已知三角形ABC的顶点坐标分别为A，B，C；（1）求直线AB方程的一般式；（2）证明△ABC为直角三角形；（3）求△ABC外接圆方程．【解析】（1）直线AB方程为：，化简得：；（2）；，∴，则∴△ABC为直角三角形
（3）∵△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆圆心为AC中点M，半径为r=，∴△ABC外接圆方程为考点点睛：(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．考点2、判断点与圆的位置关系例2．已知圆过两点、，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）判断点与圆的关系.【解析】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，则，即，即，解得，即圆心为，半径则圆的标准方程为（2）点在圆的外面.考点点睛：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
考点3、圆的标准方程的综合应用例3．已知一圆的圆心在直线上，且该圆经过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）若斜率为的直线与圆相交于，两点，试求面积的最大值和此时直线的方程.【解析】（1）方法一：和两点的中垂线方程为：，圆心必在弦的中垂线上，联立得，半径，所以圆的标准方程为：.方法二：设圆的标准方程为：，由题得：，解得：所以圆的标准方程为：.（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离为，∴，且，，面积，当，时，取得最大值2此时，解得：或所以，直线的方程为：或.考点点睛：确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法．(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有：
①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组；③解：解方程组，求出a、b、r；④代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程．考点4、二元二次方程与圆的关系例4．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．【解析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，rmax=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．考点点睛：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
考点5、用待定系数法求圆的方程例5．分别根据下列条件，求圆的方程.（1）过点，和原点；（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线上.【解析】（1）设圆的方程为，由题意，，解得，故所求圆的方程为.（2）由圆心在直线上，设圆心的坐标为，因为圆与两坐标轴均相切，所以，解得或.当时，圆心为，半径为5，则圆的方程为；当时，圆心为，半径为1，则圆的方程为；故所求圆的方程为或.考点6、求轨迹方程的常用方法：例6．已知，，动点满足.设动点的轨迹为.（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.【解析】（1），化简可得：，所以动点M的轨迹方程为.轨迹是以为圆心，2为半径的圆.（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为.
∴，即.（3）假设存在，联立方程得，得，即.设，则，，由题意知，∴.∴，得，且满足，∴存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时.考点点睛：求轨迹方程的常用方法包括：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程．具体步骤如下：①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；②根据条件列出x，y与x0、y0的关系式，求得x0、y0(即用x，y表示出来)；③将x0、y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程．(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
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