年级高一学科数学内容标题圆的标准方程与一般方程编稿老师蔡秀梅一、学习目标1.了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.2.掌握用待定系数法求圆的方程.3.掌握圆的标准方程与一般方程的互化.4.体会求轨迹方程的方法与思想.二、重点、难点重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程.难点：根据已知条件求圆的方程.三、考点分析本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.1.圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.2.圆的标准方程：以为圆心，（）为半径的圆的标准方程：3.圆的一般方程：（），圆心坐标为（），半径为.特别地，当时，表示点；当时，不表示任何图形.4.点与圆的位置关系已知点则；；.
知识点一：圆的方程例1.（1）求经过点P（1，3），Q（－2，2），且圆心在直线上的圆的方程.（2）求圆心在直线l：上，且与坐标轴相切的圆的方程.【思路分析】题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ的垂直平分线方程，与直线的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径.【解答过程】（1）解法一：设圆心坐标为，则有，解得：，所以，所以所求圆的方程为.解法二：根据条件可知圆心一定在线段PQ的垂直平分线上，由直线的点斜式方程可求得线段PQ的垂直平分线方程为，由已知圆心也在直线：上，所以由方程组解得圆心坐标为（1，－2），以下解法同解法一.（2）设圆心为，因为圆与坐标轴相切，所以，圆心在已知直线上，所以有，所以，解得，当时，＝4，所求圆的方程为；当时，＝1，所求圆的方程为.【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.例2.求过点A（－2，1），B（0，－1），C（－2，－3）的圆的方程.
【思路分析】题意分析：利用圆的一般方程求解.解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.【解答过程】设所求圆的方程为，因为A、B、C三点在圆上，所以有，解此方程组得：，所求圆的方程为.【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.例3.（1）求与圆关于直线对称的圆的方程.（2）求方程表示圆的充要条件.【思路分析】题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.（2）直接代入得关于的不等式，解不等式即可.【解答过程】（1）圆的方程可化为，所以圆心的坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则有，解得，所以所求圆的方程为.（2）∵或.【题后思考】（1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.（2）并不是所有形如的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是.
【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件为.知识点二：与圆有关的综合问题例4.动点M到两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1：2，求动点M的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.【思路分析】题意分析：动点M满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可.解题思路：设出动点M的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO、MA的长.【解答过程】设动点M的坐标为（），由已知，，，两边平方并整理得：，所以动点M的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆.【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.例5.已知点，E为线段BD的中点，求点E的轨迹方程.【思路分析】题意分析：（1）由已知条件可知点D的轨迹方程，把点D的坐标用点E的坐标表示出来，然后代入点D的轨迹方程.（2）利用图形的几何性质可推出，故可知点E的轨迹是以原点为圆心的圆.解题思路：（1）设出点E的坐标，用中点坐标公式求出点D的坐标.（2）由图形可得OE为△ADB的中位线.【解答过程】解法一：设点，点，因为E为线段BD的中点，所以有，，，即，整理得：.解法二：连接OE，则OE为△ADB的中位线，所以，由圆的定义可知，点E的轨迹是以原点为圆心的圆，方程为.【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.
例6.如果实数满足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值.【思路分析】题意分析：利用的几何意义，用数形结合的方法来解决.解题思路：的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；的几何意义为设，则表示直线在轴上的截距；的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方.【解答过程】（1）表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线，则切线的斜率分别为0和，所以的最大值为，最小值为0.（2）设，则表示直线在轴上的截距，作圆的两条斜率为的切线，这两条切线的截距分别为2和6，所以的最大值为6，最小值为2.（3）表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为2，所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1，所以的最大值为9，最小值为1.【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为是圆上的点到原点的距离.例7.已知圆C：上两点满足：①关于直线对称；②，求直线的方程.【思路分析】题意分析：由圆上两点关于直线对称可知圆心在这条直线上，故斜率的值可求，进而由.解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程.【解答过程】由圆上两点关于直线对称可知圆心在这条直线上，所以有，解得，则直线的斜率为，设P点坐标为，Q点坐标为，直线的方程为，
代入圆的方程整理得：，所以，，所以解得或，经检验，成立.所以所求直线PQ的方程为或.【题后思考】本题中由是解此类型题常用的结论；求出的值后，应验证是否成立.【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.（答题时间：50分钟）一、选择题1.圆关于原点对称的圆的方程是（）A.B.C.D.2.点（1，1）在圆的内部，则的取值范围为（）A.B.C.或D.3.已知直线的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值是（）A.3B.4C.5D.64.一个动点在圆上移动，它与点A（3，0）连线的中点的轨迹方程为（）
A.B.C.D.5.经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（）A.B.C.D.6.已知圆，则的最大值为（）A.9B.14C.D.二、填空题7.已知点A（－4，－5），B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程是.8.已知圆过原点且与轴相切，则应满足的条件是.9.圆心在直线上的圆与轴交于点A（0，－4），B（0，－2），则圆的方程是.10.直线与圆相交于点A、B，弦AB的中点为（0，1），则直线的方程为.三、解答题11.求与轴相切于点（5，0），并在轴上截得的弦长为10的圆的方程.12.方程表示圆，求实数的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.13.已知圆和直线相交于两点，若，求的值.
一、选择题1.A解析：圆心的坐标为（－2，0），则关于原点对称的点的坐标为（2，0）.2.A解析：由已知，解得.3.B解析：圆心到直线的距离，最小值为5－1＝4.4.C解析：设为圆上的动点，的中点为，则.5.A解析：圆的圆心为（－1，0），直线的斜率为1，故所求直线的方程为即.6.D解析：圆心为（－2，1），半径为3，圆心到原点的距离为，所以的最大值为.二、填空题7.解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，－3），由两点间的距离公式得半径为.8.且解析：由已知：.9.解析：线段AB的中点坐标为（0，－3），所以圆心坐标为（2，－3），则半径为.10.解析：圆心为（－1，2），圆心与弦AB的中点（0，1）的连线的斜率为－1，所以所求直线l的斜率为1，且过点（0，1），故所求直线l的方程为即三、解答题11.解：因为与轴相切于点（5，0），所以圆心的横坐标为5，设圆的半径为，则有，所以圆心的纵坐标为.故所求圆的方程为.12.解：圆方程可化为，方程表示圆且，时方程表示圆.，当且仅当时取等号.时，圆的半径最小，此时圆的方程为.
13.解：设，由得，，即，解得：.
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