《7．6．1圆的标准方程》教学设计及意图分析兰州市第五十中学数学教师：杨进元二〇一〇年十一月八日9
《7．6．1圆的标准方程》教学设计及意图分析【一】教学背景分析1．教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义。前一节里，学生学过比较抽象的曲线与方程的理论，本节恰好是理论应用的开头篇，具有承上启下的作用。2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的。但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。同时学生在初中学过圆，对它有初步认识；学过直线和曲线与方程理论后，也迫切地想应用之，符合学生认知和身心发展水平特点，是学生培养理性思维的阶段，也是提高学生自主学习能力发展的时候。9
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标(1)知识目标：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。(2)能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③增强学生用数学的意识。(3)情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4.教学重点与难点(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.为使学生能达到本节设定的教学目标，我对教法和学法上进行分析：9
【二】教法学法分析1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“生本教育”模式，从前置性作业的完成情况，预设一系列问题，用环环相扣的问题将探究活动层层引入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上。创设实际问题的情境后既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程。然后将问题交给学生，在学生讨论、相互学习的基础上展示各组研究的成果。通过这些活动进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过相互，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；增强学生用数学的意识。培养学生自主学习、主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。2．学法分析通过预设一系列问题，用环环相扣的问题将探究活动层层引入，创设实际问题的情境，激发学生的学习兴趣的求知欲和探究精神。通过学生学习小组的交流研究及展示研究成果的等环节，订正自己学习中理解误区和不足，已达到预设的教学目的。通过求圆的标准方程的例题讲解及小结，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆。通过应用圆的标准方程，并熟练掌握用待定系数法求的过程。下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程共分为七个环节：9
创设情境启迪思维深入探究成果展示巩固训练小结反思拓展引申教学过程（一）前置性作业：创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？CD解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）将x＝2.7代入，得 。即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题。用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，同时引入新课并展示本节课的学习目的学习目的：①掌握圆的标准方程；9
②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题。④进一步培养大家用代数方法研究几何问题的能力；⑤加深大家对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；⑥增强大家用数学的意识。问题二：什么是圆？确定一个圆需要几个条件？你能推导出远的标准方程吗？问题三：什么叫圆的切线？如何画出圆的一条切线？（二）小组讨论交流——获得新知1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？2．如果圆心在（a,b），半径为时又如何呢？这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程。然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究。我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法。只要有小组一种方法完成即可。（三）应用举例——巩固提高I．直接应用内化新知问题四：1．写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；9
（2）经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）2．写出圆的圆心坐标和半径.我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.II．灵活应用提升能力问题五：1．求以点C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.2．已知圆的方程为x2+y2=25，求过圆上一点A(4,-3)的切线方程.你能归纳出具有一般性的结论吗？已知圆的方程是x2+y2=r2，经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程是什么？我设计了二个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题四的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程。第二个小题解决方法较多，再一次为学生的发散思维创设了空间。最后我让学生由第二小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.III．实际应用回归自然问题六9
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）。我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.（四）反馈训练——形成方法课本P84练习1、2接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计四个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心。（五）小结反思——拓展引申课堂小结：本节课你学到了哪些知识点？有什么感受或者得到了哪些启示？把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法①圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：；圆心在原点时，半径为r的圆的标准方程为：x2+y2=r2.②已知圆的方程是x2+y2=r2，经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程是：x0x+y0y=r2。（六）布置作业（A）巩固型作业：教材P90：（习题7.6）1，2，4.9
（B）思维拓展型作业：1．把圆的标准方程展开后是什么形式？方程x2+y2-6x+8y+20=0表示什么图形？2．方程表示什么图形？3．试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程。在本课的结尾设计这三个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备。设计说明：（一）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我创设问题情境后，预设由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点。第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲。最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题六。这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破。9
（二）学生主体教师主导探究主线本节课设计的前置性作业是以问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引由学生探究、展示、释疑等活动进行的。要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在小组展示中顺利完成了释疑、订正，完成本节的学习任务，达到预设的教学目的。（三）培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维，我在问题中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，预设了几种结果，但由于学生学习的实际情况只限于有一个小组用一种方法探究出来即可。以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还要根据学生在前置性作业完成情况及课堂上展示的具体情况适当调整，向生成性课堂进行转变。兰州市第五十中学数学教师：杨进元二〇一〇年十一月八日9
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