《圆的标准方程》教学设计（STSE教学渗透设计）广州市第四十一中学梁美霞【教材分析】《普通高中数学课程标准》把解析几何的内容分为两部分分别放在必修和选修中学习，《圆与圆的方程》是必修2《解析几何初步》第二节的内容，课程标准明确要求：在学习过程中要进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。《圆的标准方程》是这一节书的第一个内容，它既继承了上一章《直线与方程》的思想方法，又将为接下来的学习圆的一般方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等内容打下至关重要的基础。因此，教学的重点应该是圆的标准方程结构特征的正确理解与认识和在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法；难点是用数形结合的思想方法求圆的标准方程。《数学2》（人教A版）教材中，在推导出圆的标准方程后进行了点和圆的位置关系的探讨，但本人在教学设计中没有把这个内容加入，而是把它放在了本节课之后的课时的学习中，希望这样可以更加突出和有更多的时间去解决本节课的重点和难点。【学情分析】在前一章的学习中，学生已经学习了直线与方程，知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，对数形结合的思想方法有了初步的体验，现在正是需要进一步的理解和强化。经过初中的学习，学生对圆和圆的一些性质的认识已经比较深刻，因此，在探寻确定圆的要素、寻找圆上的动点满足的关系、分析圆心必在弦的垂直平分线上等几何性质时，学生是比较容易理解、掌握的。但由于学生缺乏经验，在用待定系数法和几何法求圆的方程时，必须要有教师充分的引导和帮助。此外，解方程组也将是相当一部分计算能力不强的同学的障碍。【教学目标】1、经历圆的具体图形探索、确定圆的几何要素、探求圆的标准方程的过程，培养学生观察、类比、猜想和概括能力；通过不同形式的学习方式，不断激发学生的求知欲，培养学生正确的学习态度。2、掌握圆的标准方程的形式特点，体会数学公式的简洁美、对称美。3、掌握用待定系数法和几何法求圆的标准方程，体会用代数方法研究图形的几何性质这一思想方法，体会转化、数形结合等数学思想和方法。4、经历求圆的标准方程的解题过程，体会算法思想。5、体验数学与生活的联系，树立数学源于生活又服务于社会生活的观念，培养学生用数学的眼光审视现实生活问题的意识，提高学生用数学知识解决实际问题的意识和能力。【教法及学法】教法：情景引导，师生互动学法：自主探索，合作交流教学手段：多媒体辅助教学【设计思路】利用实际情景导入新课—→师生共同探求圆的标准方程—→基本练习，加强对圆的标准方程的结构特点的理解、记忆—→例题示范，探求标准方程的两种求法—→反馈练习，解决引入部分提出的实际问题—→点评，总结圆的标准方程。5第页
【教学过程】教学环节教学内容设计意图1、利用实际情景导入新课教师引导：被誉为“华南第一桥”的广州珠江黄埔大桥已经建成通车，它的主体的中间部分采用悬索桥建设，主要由一段圆弧形的钢管架承重，圆弧跨径1108米，弧高133米，充分展示了我国在现代桥梁建设中的智慧与结晶。我们在赞叹它之余，想一想，能否确定出圆弧所属圆的大小和圆心呢？能否利用解析几何的方法去解决呢？情景引入，导入新课，让学生体会数学来源于生活，培养学生关心自己周围的生活环境的意识，增强民族自豪感，从而提高学生学习数学的兴趣，同时引起学生对结论迫切追求的愿望。2、师生共同探求圆的标准方程y教师引导：在研究直线与方程时，我们通过研究确定一条直线的条件出发，逐步建立起倾斜角、斜率的概念，并在此基础上推导出直线的各种形式的方程。在此，我们一起来试试采用同样的方法，先想一想，如何确定一个圆？需要几个要素？AM学生探索：圆心和半径两个要素。教师引导：如图，在直角Ox坐标系下，设圆心，半径是，那么圆上的动点满足什么样的关系式？学生探索：点M到圆心A的距离等于r，即，由两点间距离公式得，，两边平方得，（*）借助类比的思想，引导学生从直线到圆，从几何到代数，逐步从探索圆上的点的几何性质，到用代数语言描述圆的有关要素及其关系，体会转化、数形结合的思想。3、加强对圆的标准方程的结构特点的理解、记忆教师引导：我们称（*）是圆心为，半径为的圆的标准方程，注意观察公式有什么特点，掌握记忆的方法。学生探究：左边两项分别是变量x与圆心横坐标的差的平方及变量y与圆心纵坐标的差的平方，右边是半径的平方。教师引导：圆心、半径确定了圆，所以只要a、b、r三个量确定了，圆的方程就确定了；反之，从圆的标准方程可以直接得到圆心坐标和半径。通过对圆的标准方程形式的分析，让学生加深对公式的理解和记忆，并体会数学公式的简洁美和对称美；在练习的基础上，引导学生探索出，当圆心在原点时圆的方程5第页
练习1：根据以下条件，求圆的标准方程(1)圆心在原点，半径为r；(2)圆心在，半径为3.练习2：说出下列方程的圆心和半径(1)；(2).；练习2还引导学生经历从数字到字母的过程，培养学生从具体到抽象的思维能力。4、探求圆的标准方程的两种求法例：已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上，求圆心为C的圆的标准方程。教师引导：在求直线方程的时候，我们采取的是“先定型，再定量”的方法，例如，如果确定了用斜截式，那关键就要求出参数k和b；由于圆的标准方程含有三个参数a、b、r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，题目恰好给出了三个条件：圆过点A、圆过点B、圆心在直线l上；现在我们一起来尝试把这三个几何条件转化为代数式子。学生探究：设圆的方程为圆过点A——圆过点B——圆心在直线l上——教师引导：把这三个式子组成方程组求解，就可以得到a、b、r的值，从而得到圆的方程。怎么样解这个三元方程呢？请大家动手做一做。学生探究：用代入消元法，最后得到圆C的标准方程：.教师引导：请说说刚才解题的步骤。学生探究：首先设出圆的标准方程，其次根据条件列出方程组，最后解方程求出a、b、r的值，写出圆的标准方程。ABlC教师引导：这就是待定系数法，可以简单概括为三个字：“设、列、求”。解析几何虽然强调用代数的方法解决几何问题，但图形对我们来说仍然十分重要，能否按题意画出草图，利用图形帮助我们求出圆的方程呢？学生探究：借助图形，结合题设条件，可以发现关键是找出圆心位置，而圆心则是l与AB由教师一步一步引导学生探究、归纳出两种解题方法；学生在这个过程中，能体会到解析几何的本质和转化、数形结合的思想方法，培养观察、类比、猜想和概括能力；在归纳解题步骤时，体会算法的思想；一题多解的探究能培养学生勇于探索的精神和正确的学习态度。5第页
的垂直平分线的交点，而半径长则等于或.教师引导：请比较一下两种求圆标准方程的方法。学生探究：解法一：待定系数法——设、列、求；解法二：几何法——关键是找出圆心位置。5、解决引入部分提出的实际问题ABOxy教师引导：再次展示广州珠江黄埔大桥的图片，引导学生回到一开始的问题：求圆弧钢管架所在圆的半径和圆心，即求圆的方程。帮助学生建立坐标系，鼓励学生尝试用两种方法解题并作出比较。学生探究：如图建立坐标系，C可得，求得的方程为由于数字比较大，用几何法计算量较少。（也为下节课教授圆的一般方程做准备，因为已知圆上的三点若用待定系数法求圆的方程则代入一般方程比较好。）学生对刚学到的知识得以在实际问题上的运用，体验成功解决实际问题的喜悦。感受数学源于生活又服务于社会生活。6、总结圆的标准方程教师引导：请同学们尝试小结本节课的内容，你从中学习到了什么数学思想方法？学生探究：圆的标准方程的推导；用待定系数法和几何法求圆的标准方程；数形结合的思想方法；等等。（由学生互相补充，师生共同整理）让学生形成清晰的知识框架，发挥知识系统的整体优势，提高学生归纳概括的能力。5第页
《圆的标准方程》教学小结广州市第四十一中学梁美霞1、重视对学生数学学习过程的评价。教学目标确定了较为具体的过程性目标，如经历圆的具体图形探索、确定圆的几何要素、探求圆的标准方程的过程等。教师在实施上述教学活动时应关注学生在过程中表现出来的态度、意识、习惯和情感，激励学习，引导思维习惯。2、重视对数学基础知识和基础技能的评价。要注重对数学本质的理解和思想方法的掌握，如对几何问题代数解决的基本思想——“数形结合”的理解。还要关注学生能否针对具体问题合理运用几何问题代数化的方法。3、重视对学生能力的评价。应更多地关注学生发现问题和提出问题的能力，收集信息和分析问题解决问题的能力，表达和交流的能力。这些能力是学生适应社会发展所必需的，也是在学习过程中所体现出来的，对思维能力的训练有着重要的关系和作用。5第页
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