高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 学案

2.1 圆的标准方程1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程.(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理1 圆的标准方程阅读教材P80“例1”以上部分，完成下列问题.圆的图示圆的几何特征圆上任一点到圆心的距离等于定长圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(  )A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】 由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D教材整理2 点与圆的位置关系阅读教材P80“例1”以下至P81“练习”以上部分，完成下列问题.1.中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.2.点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P在圆O外⇔d>r；点P在圆O上⇔d＝r； 点P在圆O内⇔d0)，则有解得a＝7，b＝－3，r＝，故所求圆的标准方程是(x－7)2＋(y＋3)2＝65.法二(几何法)：由题意得AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，由解得故圆心C为(7，－3)，于是半径r＝|CB|＝＝，故所求圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(  )A.(－2,3)，1 B.(2，－3)，3C.(－2,3),D.(2，－3),【解析】 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.【答案】 D2.已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(  )A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52 【解析】 设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，∴即∴A(4,0)，B(0，－6)，∴r＝|AB|＝×＝，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】 A3.若点P(－1,)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.【解析】 ∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋()2＝4＝m2，∴m＝±2.【答案】 ±24.圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________.【解析】 由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.【答案】 (x－2)2＋(y－4)2＝205.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程.【导学号：39292099】【解】 法一：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，①因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是解此方程组得∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.法二：线段AB的中垂线方程为x－2y－8＝0，线段AC的中垂线方程为x＋3y＋7＝0，联立得解得∴圆心的坐标为(2，－3)，半径为＝5，∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.