高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 课堂探究

2.3.1圆的标准方程课堂探究探究一直接法求圆的标准方程⑴①由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可知,圆心为(a,b),半径为r,它体现了圆的几何性质；②圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r24J有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程也就确定了，因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.(2)几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r^O)过原点(x—a)2+(y—b)2=a2+b2(a2+b27^0)圆心在X轴上(x—a)2+y2=r2(r^O)圆心在y轴上x2+(y—b)2=r2(r^O)圆心在X轴上且过原点(x—a)z4-y2=a2(aHO)圆心在y轴上且过原点x2+(y—b)2=b2(bHO)与x轴相切(x—a)2+(y—b)'=b'(bHO)与y轴相切(x—a)2+(y—b)2=a2(a^0)与两坐标轴都相切(x—a)2+(y—b)2=a2(|a|=|b|HO)【典型例题1】(1)圆心是C(—3,4),半径长为5的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+4)2=5B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y—4)2=5D.(x+3)2+(y—4)2=25解析：因为圆心是C(-3,4),半径长为5,所以圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=25.答案：D(2)已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为.解析：AB的中点坐标即为圆心坐标C(l,-3),又圆的半径r=|AC|=返，所以所求圆的方程为(x-l)2+(y+3)2=29.答案：(x-l)2+(y+3)2=29探究二待定系数法求圆的标准方程1.待定系数法求圆的标准方程，需求出圆心和半径，即列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r.一般步骤如下：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2；(2)根据已知条件，建立关于a,b,r的方程组； (1)解方程组，求出a,b,r,代入圆的方程中，求出圆的标准方程.1.有时求圆的方程时，用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决.圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦屮垂线的交点；(3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长ni及半径r满足r2=d2+m2；(4)直径所对的圆周角是90°,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.【典型例题2】一个圆经过两点A(10,5),B(-4,7),半径为10,求圆的方程.思路分析：本题考查了圆的标准方程的求解，可根据题目中的条件，利用待定系数法求解.解法一:设圆心为(a,b),则[(—10)2+(/7—5)2=100,①、[@+4)2+9-7)2=100.②①一②整理得7a—b—15=o,即b=7a-15.③将③代入①得a2-6a+8=0,[ci=2，[ci=4，所以补或L；[b=-\[b=13・故所求圆的方程为(x-2)2+(y+l)2=100或(x—4)?+(y-13)2=100.解法二线段AB的中点坐标为(3,6),则线段AB的垂直平分线方程为y—6=7(x—3),即y=7x—15・设圆心为(a,b),由于圆心在AB的垂直平分线上，所以b=7a—15.③又因为(a-10)2+(b-5)2=100,④将③代入④可得a=2或a=4.(以下同解法一)【典型例题3】求下列圆的方程：(1)圆心在直线y=—2x上，且与直线y=l—x相切于点(2,—1)；⑵圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得的弦长为4.(2)己知一个圆关于直线2x+3y—6=0对称，且经过点A(3,2),B(l,-4).思路分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组來求解.解：(1)设圆心为(a,-2a),半径为r,则圆的方程为(x~a)2+(y+2a)2=r2. -2g+1a-2解得r—-2)~+(-2°+1)?,a=1,r=V2, 所以所求圆的方程为(X—l『+(y+2)2=2.(2)设圆的半径为r,则圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得211d2-所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=12.⑶AB的垂直平分线为y+1=—上1(x-2),即x+3y+l=0.2+4因为圆心在弦AB的垂直平分线上，也在对称轴上，兀=72x+3y-6=0,，则由得48兀+3y+l=0,y=——.、3(QA即圆心为所以半径为、(7_3)2+2VI3丿(q\340所以圆的方程为(x-7)2+y+-=沖・I3丿9探究三点与圆的位置关系判断点P(x«,y。)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于儿何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，左端与f比较.【典型例题4】已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-l,2)四点,这四点能否在同一个圆上，为什么？思路分析：先确定出过其中三点的一个圆的方程，再验证笫四个点是否在这个圆上，即可得出答案.解：设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.©a=1,得4=3,r=5.把A,B,C的坐标分别代入①，得夕+(b-l)2=r2,«(a-2)2+@_If=严,解此方程组,(a—3)2+(b-4)—2,所以，经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x—lF+(y—3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程，得(一1—1尸+(2—3尸=5.所以，点D在经过A,B,C三点的圆上，即A,B,C,D四点在同一个圆上.探究四易错辨析易错点：因考虑问题不全而而致误 【典型例题5］已知圆C的半径为2,且与y轴和直线4x-3y=0都相切，试求圆C的标准方程.错解：由题意可设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,又圆C与y轴相切，可知a一一一>(2V所以圆C的标准方程为(x—2)~+(y—6尸=4或(X—2)2+y-\—=4.I3丿错因分析：圆C与y轴相切意味着|a|=2,而不是a=2.正解：设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,由题意可得|a|=2,即a=±2.当a=2时，由圆C与4x-3y=0相切，得|4x2-3/?|,2=2,解得b=__或b=6；综上可知，满足条件的圆C的标准方程为(x—2)'+(y—6尸=4或(x-2)2+4或(x+2)2+(y+6)2=4或(x+2)'+