4.1.1圆的标准方程学案一.学习目标:回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.二.重点、难点:重点:难点:三.知识要点:1.圆的标准方程:方程表示圆心为A(a,b),半径长为r的圆.2.求圆的标准方程的常用方法:(1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程;(2)待定系数法:先根据条件列出关于a、b、r的方程组,然后解出a、b、r,再代入标准方程.四.自主探究:(一)例题精讲:【例1】(01年全国卷.文)过点、且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是().A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解:由圆心在直线x+y-2=0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标(1,-1)代入圆方程.A不满足条件.所以,选C.另解:设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得a=1,b=1.因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.选C.【例2】求下列各圆的方程:(1)过点,圆心在;(2)圆心在直线上的圆C与y轴交于两点解:(1)设所求圆的方程为.则,解得.∴圆的方程为.(2)圆心在线段AB的垂直平分线上,代入直线得,圆心为,半径.∴圆C的方程为.【例3】推导以点为圆心,为半径的圆的方程.解:设圆上任意一点,则.由两点间的距离公式,得到.化简即得圆的标准方程:点评:这里的推导方法,实质就是求曲线方程的通法,其基本步骤是:建系设点(建立合适的坐标系,设所求曲线上的动点)→写条件(写出动点M所满足的条件)→列式(用坐标来表示所写出的条件,列出方程)→化为最简→特殊说明.【例4】一个圆经过点与,圆心在直线上,求此圆的方程.解:设圆心,则,解得.3
圆的半径.∴圆的标准方程为.另解:线段AB的中点,即.直线AB的斜率.所以弦AB的垂直平分线的方程为,即.解方程组,得,即圆心.圆的半径.∴圆的标准方程为.点评:两种解法,都是先求出圆心与半径,第一种解法用设圆心坐标后列方程而求,第二种解法用两条直线的交点求圆心.由上可得,解法关键都是如何求圆心与半径.五.目标检测(一)基础达标1.圆的圆心和半径分别是().A.,1B.,3C.,D.,2.已知直线l的方程为,则圆上的点到直线l的距离的最小值是().A.3B.4C.5D.63.过两点P(2,2),Q(4,2)且圆心在直线上的圆的标准方程是().A.B.C.D.4.(04年天津卷理7)若为圆的弦AB的中点,则直线AB的方程是().A.B.C.D.5.已知圆,一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是().A.B.8C.D.106.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为.7.(04年江苏卷.14)以点为圆心,与直线相切的圆的方程是.(二)能力提高8.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上圆方程.9.求与x轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长等于3
的圆的方程.(三)探究创新10.(03年京春文)设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.3