2.3.1的标准方程KECHENGMUBIAOYINHANG课程目ili•1•能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程:能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.2.常握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的儿何性质处理与圆心及半径有关的问题.JICHUZHISHISHULI星础知识•1.圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的是圆，定点是,定长是圆的.设〃(兀y)是OC上的任意一点，点财在OC上的条件是\Qf\=r.圆的常用儿何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距也半弦长刃及半径厂满足r=(t+m,(4)直径所对的圆周角是90°,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.【做一做1】已知圆0的一条弦长为2,且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为2.圆的方程⑴圆心在坐标原点，半径为厂的圆的标准方程为.(2)圆心坐标为(日，力)，半径为r的圆的标准方程为〔方纳总、皋)几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x+/=r(zs^O)过原点匕一日)'+(y—b)~=a+1/(/+庁工0)圆心在“轴上{x—a)2+y=r(2'^0)圆心在y轴上*+(y—Qjgo)圆心在/轴上且过原点(x—白)2+y=a(&H0)圆心在y轴上且过原点#+3—方)2=力2(狞0)与x轴相切(%—2+(yo~b)2=?|PC\=r；点P在圆O(Ab—z?)2+(必一Q'/OlPCl>r；点戶在圆Og—日)'+{yQ—I})10)的图象是以(a,/?)为圆心，半径为厂的位于直线力下方的半圆弧.DIANXINGLITILINGWU领悟题型一求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程.(1)圆心在直线y=—2%上，且与直线y=\—x相切于点(2,—1):(2)圆心C(3,0),且截直线尸/+1所得弦长为4.分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题.题型二圆的直径式方程【例2】求经过点"(4,9)和/2(6,3),且以/彳/2为直径的圆的标准方程.分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段尢尺的中点C,半径为IC"|.反思:—般地,以力(X1,71),8(x2,乃)为直径两端点的圆的方程是(X—Xi)(a—X2)+(y—p)(y—乃)=0,此结论被称为圆的直径式方程.若本例改为选择题、填空题，可直接得匕—4)(%—6)+(y—9)(y—3)=0.题型三求轨迹问题【例3】设定点M-3,4),动点河在圆x+y=4上运动，以0丽,QV为两边作平行四边形M0NP,求点戶的轨迹.
分析：本题关键是找出点P与定点肘及已知动点川之间的联系，再用平行四边形対角线
互相平分这一定理解决.反思：(1)如果动点"匕，0的轨迹依赖于另一动点0(自，方)的轨迹，而0($,方)又在已知曲线上，则可先列出关于"y,a,b的方程组，利用“y表示11!臼，b,把白，b代入已知曲线方程便可得动点P的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法).(Q1?、(O1OO\(2)本题容易忽视两点(一丁，可］和(一三，—J,其原因是求出轨迹方程后没有验证这两点与点0,必共线，不能构成平行四边形.避免出现此类错误的方法是验证是否满足轨迹方程的点都符合条件.题型四圆的标准方程的实际应用【例4】如图所示，一座圆拱桥，当水而在/位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米,当水面下降1米后，水面宽多少米？分析：建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，再利用方程解决相关问题.反思：建系不同，圆的方程不同，但建系时，要尽量使方程简单，并有利于目标实现.本题若选择英他方法建系也不彫响结论.题型五易错辨析【例5】己知圆Q的半径为2,且与y轴和直线4/一3卩=0都相切，试求圆C的标准方程.错解：由题意可设圆C的标准方程为匕一»+(y—方严=4,又圆Q与y轴相切，可知$又圆C与4A~3y=0相切，町知1X2得力=6,或力=—孑.丫4「+—3-$晅呈练目•・••圆C的标准方程为(2)2+5—6)2=4或a—2)2+(y+|)=4.错因分析：圆Q与y轴相切意味着"1=2,而不是8=2.SUITANGLIANXIGONGGU°A.B.C.[)•1以点4)为圆心，且与/轴相切的圆的标准方程为().(卄5)'+(y—4)'=16匕一5)'+(y+4)2=16(x+5)'+(y—4尸=25(x—5)2+(y+4)2=252圆(^+2)2+/=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为().A.(^-2)2+/=5B.*+(卩一2尸=5C.匕+2尸+(『+2)2=5D.#+(y+2)2=53经过圆(%+3)2+@—5)2=36的圆心，并且与直线x+2y—2=0垂直的直线方程为4圆心在直线尸/上且与/轴相切于点(1,0)的圆的方程为5已知点"是曲线x+/=16±的一动点，点M是x轴上的定点，坐标为(12,0).当点P在曲线上运动吋，求线段丹的中点財的轨迹方程.答案：
基础知识・梳理1.轨迹圆心半径【做i做1】紘2.(l)x+y=r(2)(^—a)2+(y—Z?)2=r【做一做2-1]D圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离R=【做一做2-2]/+/=2圆的方程为%+/=2.1.上外内【做一做3-1]C【做一做3-2]A典型例题・领悟【例1】解：(1)设圆心为(曰，一2臼)，则圆的方程为(x—»+(y+2日)2=北—2臼+1•—1=—1,由｛臼-2.r=yj~a—2~~7+~—2曰+1~~5解得J日=1,[r=^/2,・••所求圆的方程为(%-l)2+(y+2)2=2.⑵设圆的方程为(^-3)2+/=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=；2边2+・・・所求圆的方程为匕一3)2+/=12.【例2】解：由题意可知，圆心C为"冗的中点，即坐标为(丁,半径r=|CP,\=75-4?+6-9?=帧.故圆的标准方程为(%—5)->4-(y—6)2=10.9+3)为(5,6).【例3】解：如图所示，设P(/,y),川总，如,
则线段莎的中点坐标为几+4)丁丿
因为平行四边形的对角线互相平分，故号=宁，扌=宁，必=卄3,则有‘必=y—4,即沖Cy+3,y-4)・又点护在圆x+/=4上，故(^+3)2+(y-4)2=4.因此点P的轨迹为圆(卄3)?+@—4)2=4,但应除去两点(一詈，乎)和(一斗丰)【例4】解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐设圆的半径为J则C(0,—",即圆的方程为z+(y+z-)2=/,①将点昇的坐标(6,—2)代入方程①，得36+(r-2)2=r2,Ar=10.・•・圆的方程为/+(y+10)2=100.②当水面下降1米后，可设点川的坐标为(必，-3)U>0),将才的坐标(必，一3)代入方程②，得&=丽,・••水而下降1米后，水而宽为2^0=2^51(米).【例5】正解：设圆的标准方程为(犷+@—方尸=4,又由题意可得|^|=2即白=±2.当a=2时，再由圆C与4x—3尸0相切，得14X2—3引2,;=2,解得”=一牙或力=6；53当a=—2时，由1=2,解得方=一6或方=专.53综上可知，满足条件的圆的标准方程为(x—2)2+(y—6)2=4或(x—2)2+(y+|)=4或(/+2)?+(^+6)2=4或(^+2)2+^y—1^2=4.随堂练习・巩固1.A・・•圆与x轴相切，Ar=4.・••圆的标准方程为匕+5)2+(y—4)J16.2.A求圆关于某点或直线的对称图形的方程，主要是求圆心关于点或直线的对称点•求出圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0)・3.2^-y+ll=0
1.(^-l)2+(y-l)2=l设其圆心为P(臼，a),而切点为〃(1,0),则以丄x轴，.••由PA所在直线x=1与联立，得日=1.故方程为(%—1)'+(y—1)~=1.也可通过数形结合解决，若圆与/轴相切于点(1,0),圆心在y=x上，可推知与y轴切于(0,1).2.解：设."(X,y),Pgyo).’心“zp,Ao+12沟+°由题思，得2=x，~2~=//.ao=2^—12,yo=2y.又点/心。，必)在圆#+#=16上，兀+刃)=16.・・・(2^-12)2+(2y)2=16,即匕一6)'+#=4.
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