圆的标准方程和切线问题教案教学目标1.使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法.2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑推理能力.3.培养学生勇丁•探索、坚韧不拔的意志品质.教学重点与难点圆的标准方程和切线的求法是教学重点，圆的切线的求法是教学难点.教学过程师：前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，将曲线上任一点的坐标为(x,y)；②探求这些点的横坐标x与纵坐标y之间的关系，列出等式并化简.师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲.用这个方法我们曾经求出圆心在原点，半径为5的圆的方程，它的方程是怎样的？生：x2+y2=25,ffi：若半径发生变化，岡的方程乂是怎样的？能否写出岡心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？(启发地)1员I上的点满足什么条件？这些条件怎样转化成圆上的点的坐标所满足的条件？生：此圆是到原点的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式可得■-Jx2=r.即x2+y2=r2.师：x2+y2=r表示的圆的位置比较特殊，I员1心在原点.有时候I员1心可能不在
原点，若此圆的圆心移至(a,b)点，圆的方程是怎样的？生：此鬪是到点Q,b)的距离等于r的点的集合，由两点间的距离公式可得=T.即：(x-a)2+(y-b)2=r2.师：方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程.圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面儿何中有关理论联系起來？生：平面几何屮，圆由圆心、半径决定，圆的方程由a、b、r决定(其i『a、b是圆心的横、纵坐标，r是圆半径).师：很好！这里再一次体现了解析几何的特点——用代数的方法研究几何问题.由此可见，要确定圆的方程，只须确定a、b、r这3个独立变量即可.请同学们思考这样一个问题：例1已知两点A(4,9)和B(6,3),求以AB为直径的圆的方程，并且判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？师：这道题的已知、要求很明确，应怎样解？生：先求圆的方程，再判断点的位置.师：要确定圆的方程需要求什么？要不要按“四步曲”来求？生：不需要，只要根据圆的标准方程，求出圆心和半径即可.师：怎么求？生：用中点公式求圆心坐标，用两点间距离公式求半径.师：好！请具体求出.生：圆心C(a,b)是线段AB的中点，那么它的坐标为：a=5,b二6・因此圆的方程是：(x-5)2+(y-6)2=10.为|CN]=7l3>ViO,|OQ|=3所以点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
由此可见,若点P(x°,yj在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上，点P的坐标与圆的方程有什么关系？P在圆外，圆内呢？生：点P(x。，y°)在圆±(xo-a)2+(y0-b)-r2；点P(xo,yj在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2.师：这道题研究了点和圆的位置关系.试问直线和圆有哪些位置关系？生：相交、相离、相切.师：相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重耍的位置关系，在解析几何屮，我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出这圆上一点的切线方程吗？例己刘a的方程是疋亠』=17,求缀颯上占pc忆皿的切线的方程.师：你打算怎样求？生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求.师：斜率怎么求？生：……师：已知条件有哪些？可以直接利用吗？不妨冊i张图看看.如生：切线与半径OP互相垂直，故斜率互为负倒数.师：哪位同学能够具体的说一说？
因为圆的切线垂直丁•过切点的半径,所玖切线的斜率为岭=¥■-磊，由的式可得所求方程划APiJSr+4ily-n=0.ffi对m着so的方程只+护=r?和畝兀尿）分靳切助程.倔酢出怎样的猜想？生：……ff-由«a+ya=-17=0?与醐点（屈有何关系？如果看不出来，我们可以再演算两个例子试一试•谁来举例？生:圆的方程是x2+y2=13,过其上一点（2,3）的切线方程是2x+3y-13=o.生：圆的方程是x2+y2=5,过其上一点（-2,1）的切线方程是-2x+y-5=0.师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答问题）生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程屮的一个x和一个y,便得到了切线方程•师：若将已知条件中圆半径改为r,点改为圆上任一点（X。，y0）,结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！生：Xox+yoy=rJ.师：这个猜测对不对？若对，可否给予证明？生:ffi：这个问题就相当于：已知圆的方程是x2+y2=r2,求过圆上一点P(x°,y0)的切线的方程.用点斜式表示方程，有什么条件？
生：切线若与x轴垂直，则不能用点斜式表示.师：要求切线的斜率，需要求半径0P的斜率，0P的斜率一定存在吗？(引导学生完成解题过程)解①若切线的斜率不存在，x0=±r,yo=0,切线方程为x=r,或x=-r.②若半径的斜率不存在,yo=±r,Xo=O,切线的方程为y=r,或yr•③若切线及半径的斜率都存在，设切线的斜率为k,*0kl%经过点P的切线方程为：r-yo=■严仗Zo亦即xox+yoy=r2.(*)经验证：①②均适合(*)式，故切线方程为：x°x+y(yF・师：对照圆的方程x^y2=r及点P(x°,Yo),看看切线方程与圆的方程有什么关系？生：圆的方程可看成x•x+y•y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标x。、y0替换，可得到切线方程.师：按照这种方法，若圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r~,过其上一点(x°,y°)的切线方程会是怎样的呢？能猜到吗？生:切线方程为(Xo-a)(x-a)+(y°-b)(y-b)=r2.师：你的猜测对吗？可否给予证明？这实际上就是：已知圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,求经过圆上一点(x°,y())的切线方程.解①若切线及半径的斜率都存在，
opfiWhc严心.«o"a赧切鳗踊体k=*■-栄.故切StfrMyF(■3yn"b即(Xo-a)(x-Xo)+(yo-b)(y-y0)=r2.(**)②若切线或OP的斜率不存在时，切线方程也是(**)式.师：(**)式与同学猜测的结果(xo-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2不同，是我们猜错了？还是算错了？哪里出了毛病？生：对比两个方程，凑!l!(x-a)项，将(細)式整理如下：[(x-a)-(x0-a)](Xo~a)+[(y-b)-(y(rb)](y0-b)=0,即：(x°-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0~a)2+(y0-b)2.因为P在圆上，故(x0-a)'+(y(-b)2=r2,所以切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.这与同学们猜测的结果是一致的！设计思想在教学过程中，教师遵循数学本身的发展规律，同时注意到学生的认识规律,力求使它们同步协调，具体做法如下：在探询圆的标准方程的过程中，引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线一圆.从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法，同时引导学牛对照圆的儿何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学屮的美学——对称、简洁.在探求圆的切线方程时，运用波利亚一般解题方法求出过圆X2+y2=r.h一点(Xo,y。)的切线方程，同时也提出思考:若改变条件为圆(x-a)2+(y-b)2=r2,结论将发生怎样的变化？此时引导学生通过观察、类比、联想、猜测、归纳出一般方程，并且给以证明，既教猜想，又教证明.在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议
控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关.
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