高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 课堂探究
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高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 课堂探究

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时间:2022-09-01

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资料简介
2.3.1圆的标准方程课堂探究探究一直接法求圆的标准方程(1)①由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可知,圆心为(a,b),半径为r,它体现了圆的几何性质;②圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程也就确定了,因此确定圆的方程需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.(2)几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r≠0)过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2(r≠0)圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x-a)2+y2=a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2+(y-b)2=b2(b≠0)与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【典型例题1】(1)圆心是C(-3,4),半径长为5的圆的方程为(  )A.(x-3)2+(y+4)2=5B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y-4)2=25解析:因为圆心是C(-3,4),半径长为5,所以圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=25.答案:D(2)已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为__________.解析:AB的中点坐标即为圆心坐标C(1,-3),又圆的半径r=|AC|=,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.答案:(x-1)2+(y+3)2=29探究二待定系数法求圆的标准方程1.待定系数法求圆的标准方程,需求出圆心和半径,即列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r.一般步骤如下:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; (3)解方程组,求出a,b,r,代入圆的方程中,求出圆的标准方程.2.有时求圆的方程时,用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决.圆的常用几何性质如下:(1)圆心在过切点,且与切线垂直的直线上;(2)圆心必是两弦中垂线的交点;(3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长m及半径r满足r2=d2+m2;(4)直径所对的圆周角是90°,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.【典型例题2】一个圆经过两点A(10,5),B(-4,7),半径为10,求圆的方程.思路分析:本题考查了圆的标准方程的求解,可根据题目中的条件,利用待定系数法求解.解法一:设圆心为(a,b),则①-②整理得7a-b-15=0,即b=7a-15.③将③代入①得a2-6a+8=0,所以或故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=100或(x-4)2+(y-13)2=100.解法二:线段AB的中点坐标为(3,6),kAB=-,则线段AB的垂直平分线方程为y-6=7(x-3),即y=7x-15.设圆心为(a,b),由于圆心在AB的垂直平分线上,所以b=7a-15.③又因为(a-10)2+(b-5)2=100,④将③代入④可得a=2或a=4.(以下同解法一)【典型例题3】求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);(2)圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得的弦长为4.(3)已知一个圆关于直线2x+3y-6=0对称,且经过点A(3,2),B(1,-4).思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.解:(1)设圆心为(a,-2a),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2.由解得 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的半径为r,则圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d==2,所以r==2.所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=12.(3)AB的垂直平分线为y+1=-(x-2),即x+3y+1=0.因为圆心在弦AB的垂直平分线上,也在对称轴上,则由得即圆心为,所以半径为r==.所以圆的方程为(x-7)2+=.探究三点与圆的位置关系判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:(1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小;(2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.【典型例题4】已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上,为什么?思路分析:先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案.解:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.①把A,B,C的坐标分别代入①,得解此方程组,得所以,经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入上述圆的方程,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以,点D在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D四点在同一个圆上.探究四易错辨析易错点:因考虑问题不全面而致误 【典型例题5】已知圆C的半径为2,且与y轴和直线4x-3y=0都相切,试求圆C的标准方程.错解:由题意可设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,又圆C与y轴相切,可知a=2,又圆C与4x-3y=0相切,可知=2,解得b=6或b=-.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-6)2=4或(x-2)2+=4.错因分析:圆C与y轴相切意味着|a|=2,而不是a=2.正解:设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,由题意可得|a|=2,即a=±2.当a=2时,由圆C与4x-3y=0相切,得=2,解得b=-或b=6;当a=-2时,由=2,解得b=-6或b=.综上可知,满足条件的圆C的标准方程为(x-2)2+(y-6)2=4或(x-2)2+=4或(x+2)2+(y+6)2=4或(x+2)2+=4.

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