高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 课堂探究

2.3.1圆的标准方程课堂探究探究一直接法求圆的标准方程(1)①由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，圆心为(a，b)，半径为r，它体现了圆的几何性质；②圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，圆的方程也就确定了，因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．(2)几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)与两坐标轴都相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(|a|＝|b|≠0)【典型例题1】(1)圆心是C(－3,4)，半径长为5的圆的方程为(  )A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：因为圆心是C(－3,4)，半径长为5，所以圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.答案：D(2)已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为__________．解析：AB的中点坐标即为圆心坐标C(1，－3)，又圆的半径r＝|AC|＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.答案：(x－1)2＋(y＋3)2＝29探究二待定系数法求圆的标准方程1．待定系数法求圆的标准方程，需求出圆心和半径，即列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r.一般步骤如下：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解方程组，求出a，b，r，代入圆的方程中，求出圆的标准方程．2．有时求圆的方程时，用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决．圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2＝d2＋m2；(4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．【典型例题2】一个圆经过两点A(10,5)，B(－4,7)，半径为10，求圆的方程．思路分析：本题考查了圆的标准方程的求解，可根据题目中的条件，利用待定系数法求解．解法一：设圆心为(a，b)，则①－②整理得7a－b－15＝0，即b＝7a－15.③将③代入①得a2－6a＋8＝0，所以或故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.解法二：线段AB的中点坐标为(3,6)，kAB＝－，则线段AB的垂直平分线方程为y－6＝7(x－3)，即y＝7x－15.设圆心为(a，b)，由于圆心在AB的垂直平分线上，所以b＝7a－15.③又因为(a－10)2＋(b－5)2＝100，④将③代入④可得a＝2或a＝4.(以下同解法一)【典型例题3】求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；(2)圆心C(3,0)，且截直线y＝x＋1所得的弦长为4.(3)已知一个圆关于直线2x＋3y－6＝0对称，且经过点A(3,2)，B(1，－4)．思路分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解．解：(1)设圆心为(a，－2a)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2.由解得 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)设圆的半径为r，则圆的方程为(x－3)2＋y2＝r2，利用点到直线的距离公式可以求得d＝＝2，所以r＝＝2.所以所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝12.(3)AB的垂直平分线为y＋1＝－(x－2)，即x＋3y＋1＝0.因为圆心在弦AB的垂直平分线上，也在对称轴上，则由得即圆心为，所以半径为r＝＝.所以圆的方程为(x－7)2＋＝.探究三点与圆的位置关系判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，左端与r2比较．【典型例题4】已知在平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？思路分析：先确定出过其中三点的一个圆的方程，再验证第四个点是否在这个圆上，即可得出答案．解：设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①把A，B，C的坐标分别代入①，得解此方程组，得所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.把点D的坐标(－1,2)代入上述圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，即A，B，C，D四点在同一个圆上．探究四易错辨析易错点：因考虑问题不全面而致误 【典型例题5】已知圆C的半径为2，且与y轴和直线4x－3y＝0都相切，试求圆C的标准方程．错解：由题意可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，又圆C与y轴相切，可知a＝2，又圆C与4x－3y＝0相切，可知＝2，解得b＝6或b＝－.所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝4或(x－2)2＋＝4.错因分析：圆C与y轴相切意味着|a|＝2，而不是a＝2.正解：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，由题意可得|a|＝2，即a＝±2.当a＝2时，由圆C与4x－3y＝0相切，得＝2，解得b＝－或b＝6；当a＝－2时，由＝2，解得b＝－6或b＝.综上可知，满足条件的圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝4或(x－2)2＋＝4或(x＋2)2＋(y＋6)2＝4或(x＋2)2＋＝4.