2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程典题精讲例1求过三点A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形.思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程.解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有图2-3-(1,2)-1解得D=-2,E=-4,F=-95.于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是,圆的圆心D的坐标为(1,2),半径为10,图形如图2-3-(1,2)-1所示.绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加以求解.变式训练1已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为()A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=1思路解析:求出圆心(1,0)关于直线y=-x的对称点为(0,-1),得到圆C的圆心.故选C.答案：C例2求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1)；(2)圆心为C(0,3),且截直线y=x+1所得弦长为4.思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2.由解得∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=|=,再根据垂径定理可知r=.
∴所求圆的方程为(x-3)2+y2=12.绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选用圆的标准方程来解题.变式训练2已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由圆心在直线y=2x上,得b=2a.①由圆被直线x-y=0截得的弦长为,将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得.化简得a-b=±2.②解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.例3如图2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形ABCD中两对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,又F是BC的中点,试用坐标法证明EF⊥AD.图2-3-(1,2)-2思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简捷.证明：建立如图2.3(1.2)2所示的直角坐标系xOy,并设A、B、C、D的坐标分别为(0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a、b、c、d＞0).于是BC中点F的坐标为(,),故kEF=.又kAD=,故kEF·kAD=.由圆的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd.∴kEF·kAD=-1.∴EF⊥AD.黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标轴,处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的垂直关系.变式训练3在△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△AOB内切圆上的点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值.
图2-3-(1,2)-3解：如图2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使A、B、O三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0).设内切圆半径为r,则有2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为x2+y2-2x-2y+1=0,①设点P(x,y),又∵|PA|2+|PB|2+|PC|2=3x2+3y2-8x-6y+25,②由①知x2+y2-2y=2x-1,代入②得|PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],∴|PA|2+|PB|2+|PC|2最大值为22,最小值为18.例4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由.(1)x2+y2+4x-2y+12=0；(2)x2+y2-11x+3y-30=0；(3)3x2+2y2+3x-3y+5=0.思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再依据公式得出圆心和半径.答案：(1)x2+y2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.(2)在x2+y2-11x+3y-30=0中,-=,-=-,D2+E2-4F=250＞0,所以该方程表示圆心为(,-),半径为的圆.(3)在3x2+2y2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程.绿色通道：对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,在D2+E2-4F＞0的情况下,则有(-,-)为圆心,为半径.不必死记这个公式,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.变式训练4方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程.解：原方程可化为［x-］2+(y+)2=,∵a2-2a+2＞0,∴当a≠0且a∈R时,原方程表示圆.又∵=+2≥2,
当且仅当a=2时等号成立.∴a=2时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.问题探究问题1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.导思：求圆的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就是确定待定系数个数是否相同,待定系数的特征是否相同,需要具备什么样的已知条件才能分别求出这两种圆的方程.探究：相同点：圆的标准方程和圆的一般方程中都有三个未知量(圆的标准方程中有三个待定系数:a、b、r，圆的一般方程中有三个待定系数:D、E、F)，故确定一个圆需要三个独立的条件，一般利用待定系数法确定，基本步骤为:(1)根据题意，设所求的圆的方程;(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就可得到所求圆的方程.不过针对具体问题，通过数形结合的思想，有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷的解题途径.不同点：一是待定系数的含义不同，圆的标准方程中的三个待定系数有明确的几何特征，而圆的一般方程中的三个待定系数没有明确的几何特征；二是要根据具体题目中的已知条件确定是求圆的标准方程还是求圆的一般方程.当题目中已知圆心和半径的条件时，要求圆的标准方程，当题目中已知圆上的三个点的时候，要求圆的一般方程.问题2圆的一般方程是一个二元二次方程，试探究圆的一般方程与二元二次方程的关系.导思：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，也就是说只有当二元二次方程满足特定的条件时，这个二元二次方程才能表示圆，这就需要我们把圆的一般方程和普通的二元二次方程写出来，分析它们的具体特征和限制条件.探究：比较圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数和二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系数可以发现，圆的一般方程是当二元二次方程的系数满足以下三个条件时的特殊情况.(1)x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy项，即B=0;(3)D2+E2-4AF＞0.由此，我们可以发现二元二次方程不都表示圆，只有满足上面三个条件的二元二次方程才可以表示圆，但是，所有圆的方程都是二元二次方程，圆的方程只是二元二次方程中的一类特殊的方程.问题3一些圆的位置比较特殊，它们的方程有何特点？导思：圆的方程由圆心坐标和半径唯一确定.当圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆的半径，此时圆心的纵坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于圆的半径，此时圆心的横坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆心在某一直线上时，圆心坐标满足圆的方程.探究：当圆心在原点时，x2+y2=r2(a=b=0)；当圆与x轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)；当圆与y轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)；当圆与两坐标轴都相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)；当圆心在x轴上时，(x-a)2+y2=r2(r≠0)或x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)；当圆心在y轴上时，x2+(y-b)2=r2(r≠0)或x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0).
如果圆的位置符合上述情况，若按上述方程去设方程，可相对减少未知数的个数.
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