高中数学人教A版必修2第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程 学案

2.3.1 圆的标准方程1．能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．2．掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题．1．圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆，定点是______，定长是圆的______．设M(x，y)是⊙C上的任意一点，点M在⊙C上的条件是|CM|＝r.圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2＝d2＋m2；(4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．【做一做1】已知圆O的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为__________．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为__________．(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为__________．几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)与两坐标轴都相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(|a|＝|b|≠0)【做一做2－1】圆心是O(－3,4)，半径为5的圆的方程为(  )．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25【做一做2－2】(2010·课标全国卷)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．3．点与圆的位置关系设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔|PC|＞r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.【做一做3－1】下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是(  )．A．(1,1)B．(2,1)C．(0,0)D．(，)【做一做3－2】点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(  )．A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定圆的图形不是函数的图象剖析：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y＝b＋(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b上方的半圆弧；函数y＝b－(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b下方的半圆弧．题型一求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程．(1)圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；(2)圆心C(3,0)，且截直线y＝x＋1所得弦长为4.分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解．反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题．题型二圆的直径式方程【例2】求经过点P1(4,9)和P2(6,3)，且以P1P2为直径的圆的标准方程．分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段P1P2的中点C，半径为|CP1|.反思：一般地，以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，此结论被称为圆的直径式方程．若本例改为选择题、填空题，可直接得(x－4)(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0.题型三求轨迹问题【例3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．分析：本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系，再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决． 反思：(1)如果动点P(x，y)的轨迹依赖于另一动点Q(a，b)的轨迹，而Q(a，b)又在已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得动点P的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)．(2)本题容易忽视两点和，其原因是求出轨迹方程后没有验证这两点与点O，M共线，不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证是否满足轨迹方程的点都符合条件．题型四圆的标准方程的实际应用【例4】如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？分析：建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，再利用方程解决相关问题．反思：建系不同，圆的方程不同，但建系时，要尽量使方程简单，并有利于目标实现．本题若选择其他方法建系也不影响结论．题型五易错辨析【例5】已知圆C的半径为2，且与y轴和直线4x－3y＝0都相切，试求圆C的标准方程．错解：由题意可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，又圆C与y轴相切，可知a＝2，又圆C与4x－3y＝0相切，可知＝2，得b＝6，或b＝－.∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝4或(x－2)2＋2＝4.错因分析：圆C与y轴相切意味着|a|＝2，而不是a＝2.1以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为(  )．A．(x＋5)2＋(y－4)2＝16B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝25D．(x－5)2＋(y＋4)2＝252圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(  )．A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝53经过圆(x＋3)2＋(y－5)2＝36的圆心，并且与直线x＋2y－2＝0垂直的直线方程为______________．4圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________．5已知点P是曲线x2＋y2＝16上的一动点，点A是x轴上的定点，坐标为(12,0)．当点P在曲线上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程．答案： 基础知识·梳理1．轨迹 圆心 半径【做一做1】2．(1)x2＋y2＝r2 (2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2【做一做2－1】D【做一做2－2】x2＋y2＝2 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离R＝＝.∴圆的方程为x2＋y2＝2.3．上 外 内【做一做3－1】C【做一做3－2】A典型例题·领悟【例1】解：(1)设圆心为(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2.由解得∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x－3)2＋y2＝r2，利用点到直线的距离公式可以求得d＝＝2，∴r＝＝2.∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝12.【例2】解：由题意可知，圆心C为P1P2的中点，即坐标为，为(5,6)．半径r＝|CP1|＝＝.故圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.【例3】解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，则有即N(x＋3，y－4)． 又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此点P的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和.【例4】解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝，∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米)．【例5】正解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，又由题意可得|a|＝2即a＝±2.当a＝2时，再由圆C与4x－3y＝0相切，得＝2，解得b＝－或b＝6；当a＝－2时，由＝2，解得b＝－6或b＝.综上可知，满足条件的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝4或(x－2)2＋2＝4或(x＋2)2＋(y＋6)2＝4或(x＋2)2＋2＝4.随堂练习·巩固1．A ∵圆与x轴相切，∴r＝4.∴圆的标准方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.2．A 求圆关于某点或直线的对称图形的方程，主要是求圆心关于点或直线的对称点．求出圆心(－2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0)．3．2x－y＋11＝04．(x－1)2＋(y－1)2＝1 设其圆心为P(a，a)，而切点为A(1,0)，则PA⊥x轴，∴由PA所在直线x＝1与y＝x联立，得a＝1.故方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.也可通过数形结合解决，若圆与x轴相切于点(1,0)，圆心在y＝x上，可推知与y轴切于(0,1)．5．解：设M(x，y)，P(x0，y0)．由题意，得＝x，＝y.∴x0＝2x－12，y0＝2y. 又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝16上，∴x＋y＝16.∴(2x－12)2＋(2y)2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.