圆的方程

第二节圆的方程（2）【学习导航】知识网络圆的一般方程表示圆的条件圆的一般方程的简单运用学习要求1．掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程；2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题；3．解题过程中能分析和运用圆的几何性质．【课堂互动】自学评价1．以为圆心，为半径的圆的标准方程： ．2.将展开得： ．3.形如的都表示圆吗？不是 ．（１）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程表示一个点；（3）当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；４．圆的一般方程：．注意：对于圆的一般方程（１）和的系数相等，且都不为（通常都化为）；（２）没有这样的二次项；听课随笔（３）表示圆的前提条件：，通常情况下先配方配成，通过观察与的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件．【精典范例】例１：求过三点的圆的方程．分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．【解】：法一：设圆的方程为，∵三点都在圆上，∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：，解得：，所以，所求圆的方程为：．法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解．例2：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？分析：线段的端点静止，在圆上运动，因此我们可以设出的坐标，从而得到中点的坐标．【解】设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以（＊）于是，有因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，即：（＊＊），将（＊）式代入（＊＊），得：， 整理得所以满足的关系为：，其表示的曲线是以为圆心，１为半径的圆．点评:该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结．例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是米，拱高是米，在建造时，每隔米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到米）．分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．【解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为；设圆拱所在的圆的方程为，∵点在所求的圆上，则坐标代入得：，解之得，∴圆拱所在的圆的方程为：；将点的横坐标代入圆方程，解得（舍去负值）．答：支柱的长约为米．点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题．听课随笔追踪训练一1.下列方程各表示什么图形？（１）；（２）；（３）．【解】（１）圆心为，半径为２的圆；（２）一个点；（３）一个圆心为，半径为的一个半圆（）（图略）．２．圆的圆心为：，半径为．３.求过三点的圆的方程．【解】设圆的方程为，∵，，三点都在圆上，∴，，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，得：，解得：，所以，所求圆的方程为：．４.求圆关于直线对称的图形的方程．【解】可化为，圆心关于直线的对称点为，所以对称的图形的方程为：．思维点拔： 在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．学生质疑教师释疑听课随笔