第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系☆知识导航我们知道，在v-t图象中，匀速直线运动的物体对应于一条平行于时间轴的直线，直线下面的面积对应于物体的位移，即x=vt；对于做匀变速直线运动的物体，它的v-t图象是一条倾斜的直线，试想做匀变速直线运动的物体的位移与其v-t图象之间是否也存在这样的关系呢？这节课我们就从研究最简单的匀速直线运动的位移开始，进一步研究物体做匀变速直线运动的位移随时间的变化规律。☆学习目标知道匀速直线运动的位移与时间的关系；了解位移公式的推导方法，掌握位移公式；理解匀变速直线运动位移与时间的关系及其应用；理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。☆重点难点【重点】理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。【难点】v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移；微元法推导位移时间关系式；匀变速直线运动的位移与时间的关系及其灵活应用。☆预习检测前面我们学习了匀变速直线运动速度随时间的变化规律，对于运动的问题，人们不仅关注物体的速度随时间的变化规律，而且还希望知道物体运动的位移随时间的变化规律。1．做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________，其v-t图象为__________。在v-t图象中某段时间内位移的大小与____________相等。2．匀变速直线运动的v-t图象是________________，其中图象的斜率表示物体的__________，图象与坐标轴所围面积是物体的______________。3.如果物体以初速度v0做加速度为a的匀变速直线运动，经过时间t后，物体的速度为v=，位移为x=，这就是匀变速直线运动的位移与时间的公式.说明：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的方向为正方向。若选v0的方向为正方向，则加速运动中，a取正值；在减速运动中，a取负值.4.公式推导：在匀变速直线运动中，如果初、末速度分别为v0、v，加速度为a，时间t
内的平均速度为，由于位移x=t，又=和v=，故可得匀变速直线运动的位移与时间的公式x=.（提示：匀变速直线运动过程中的平均速度等于初末速度的算术平均值，也等于中间时刻的瞬时速度）1.x=vt；一条平行于时间轴的直线；直线与这段时间围成的矩形的面积2.一条倾斜的直线；加速度；位移3.v=v0+at；4.；；☆解读教材在上一章中，我们用极限思想（无限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的时间间隔趋向于0，介绍了瞬时速度和瞬时加速度；本节课介绍速度图象中图线与时间轴之间四边形的面积代表匀变速直线运动的位移时，又一次应用了极限思想。极限思想是一种常用的研究方法，教材渗透这样的思想，只要求我们对极限思想有初步的认识，并不要求会计算极限。一、匀速直线运动的位移矩形面积等于位移吗？vv/（m/s）Ott/s矩形位移（x=vt）矩形面积（S=vt）位移=矩形面积匀速直线运动的位移对应v-t图线与t轴所围成的面积.
匀变速直线运动的位移是否也有这种关系?
猜想
参考教材中“思考与讨论”栏目，思考下列问题：u思考一这个材料中体现了什么科学思想？不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。科学思想方法：先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的思想，这是物理思想方法之一。（微元法）u思考二此科学思想方法（微元法）能否应用到匀变速直线运动的v-t图象上？二、匀变速直线运动的位移1.探究思路——化繁为简的思想方法（微元法）复杂问题简单模型抽象微元法研究2.从速度图象求匀变速直线运动的位移Ovt图1ABCD仔细研究教材“思考与讨论”栏目中用纸带上各点的瞬时速度估算小车位移的方法，不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。右图中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度图线。为了求出物体在时间t内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此，它的速度图线由图中的一些平行于时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线AB，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线AB
与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。★★用公式表达匀变速直线运动位移与时间的关系由上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移x，可以用图中梯形OABC的面积S表示。而，把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成 ，将代入，可得匀变速直线运动的位移公式 。★图中梯形OABC的面积S也可表示为矩形AOCD的面积S1和三角形ABD的面积S2之和，即S=S1+S2，而，（式中k表示直线AB的斜率），故 。把面积、各条线段及斜率k换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式 。匀变速直线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速度都是代数量，都带有符号。三、学会如何看图？物理规律既可以用文字表述，也可以用图象表述．与文字语言相比，图象语言更具有直观、形象、简明的特点，用图象语言分析解决物理问题，能达到化难为易，化繁为简的目的．已知一个图象，我们可以通过“看”来寻找已知条件、规律和解题的突破口．为方便记忆，现总结为“六看”：1.看“轴”：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图像是描述的哪两个物理量间的关系，如是位移－时间关系？还是速度－时间关系？同时要注意单位和标度．2.看“线”：“线”上的一个点，一般反映两个量的瞬时对应关系．如x－t图像上一个点对应某一时刻的位置，v－t图像上一个点对应某一瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理过程，x－t图象反映质点的位移随时间的变化关系；v－t图象反映质点的速度随时间的变化关系．3.看“斜率”
：图象的斜率是两个轴所代表的物理量的变化之比，它往往代表另一个物理量的规律．例如，x－t图象的斜率表示速度，v－t图象的斜率表示加速度．4.看“面积”：图象和坐标轴所夹的面积也往往代表另一个物理量的规律．这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义，这可以从物理公式分析，也可以从单位的角度分析．如x和t乘积无意义，我们在分析x－t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积，v－t图象下的面积就表示位移．5.看“截距”：截距一般代表物理过程的初始情况，如t=0时的位移和速度．6.看“特殊点”：如交点，拐点（转折点）等．如图x-t图象的交点表示两质点相遇(同一时刻位于同一位置)；而v-t图象的交点只说明那一时刻两质点速度相等．☆基本题型一、公式的基本应用（）匀变速直线运动的位移与时间之间的关系是解决匀变速直线运动经常研究的问题，运用此关系可以根据已知条件求解待求的物理量。例1火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8km／h，L。1min后变成54km／h，再经一段时间，火车的速度达到64.8km／h。求所述过程中，火车的位移是多少？解析：火车一直做匀加速运动，其位移可由多种不同方法求解。解法1：整个过程的平均速度m/s时间t=75s则火车位移m解法2：由得位移m点拨：①运动学公式较多，故同一个题目往往有不同求解方法；②为确定解题结果是否正确，用不同方法求解是一有效措施。例2以18m／s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为，求汽车在6s内通过的距离。
解析：汽车刹车后到停止的运动时间为，加速度为，由速度公式得：，则汽车在这3s内通过的位移为：m。3s之后汽车静止不动，故汽车在6s内通过的距离为27m。点评：由于汽车在3s时停止运动，所以直接代入公式求出的结果显然不是汽车运动的实际距离，原因是汽车停止运动后不能自动往回倒退，而直接代入时间求得的结果却是认为汽车一直做匀减速直线运动。所以处理此类问题时，一定要先计算汽车刹车到停止所用的时间，然后与已知时间进行比较，若已知时间大于刹车时间，则计算时不能用已知时间；若已知时间小球刹车时间，则应直接应用已知时间求解。二、利用图象求位移匀变速直线运动的图象是一条倾斜的直线，图线下方与时间轴所围的图形的“面积”等于该段时间内物体的运动位移。图1例3若一质点从开始由原点出发沿直线运动，其速度—时间图象如图1所示，则关于该质点的下列说法正确的是（）A．s时离原点最远B．s时离原点最远C．s时回到原点D．s时回到原点解析：做直线运动的速度—时间图线与时间轴所围成的图形的面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形的面积应最大。s时，所围成图形为，s时，所围成图形为。很显然＞，所以s时位移最大，离原点最远；当s时，所围图形为和，由于在轴以下，位移为负，则位移应为，同理s时，位移应为，即位移为零，质点回到出发点，故选项B、D正确。点评：在运用匀变速直线运动的
图象求位移时，一定要注意某段时间内图线下方所围的图形是在时间轴的上方，还是在其下方。若在时间轴上方，则图形面积取正值，表明该段时间内的位移为正；若在时间下方，则图形面积取负，表示该段时间内的位移为负，切不可不加区分，就将两部分图形面积直接相加，作为物体运动的总位移。三、运用平均速度公式求匀变速直线运动的位移图2对于匀变速直线运动，一段时间内的平均速度可以用计算，所以某段时间内的位移即为。对于已知初、末速度和时间的匀变速直线运动问题，用此公式求位移既直接，又简便快捷。例4一个滑雪的人，从85m长的山坡上匀变速直线滑下（如图2所示），初速度是，末速度是，他通过这段山坡需要多长时间?解析：滑雪的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求，已知量为初速度，末速度和位移，待求量是时间，我们可以用不同的方法求解。解法I：利用公式和求解。设滑雪者的加速度为，由公式得；由公式得，联立两式解得：s。所以，滑雪者通过这段山路需要的时间为25s。解法II：利用平均速度的公式求解。由已知初速度，末速度，位移，根据公式得：。所以，滑雪者通过这段山路需要的时间为25s。点评：对于匀变速直线运动，计算位移时可根据已知条件灵活选取计算方法，若有图象则应考虑应用图象面积求解，若无加速度，则应考虑运用平均速度公式求解。四、关于刹车时的误解问题
例5在平直公路上，一汽车的速度为15m／s。，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？解析：车做减速运动，是否运动了10s，这是本题必须考虑的。初速度v0=15m／s，a=-2m／s2，分析知车运动7.5s就会停下，在后2.5s内，车停止不动。设车实际运动时间为t，vt=0，a=-2m／s2由知运动时间s所以车的位移m五、图象问题图象是高中阶段经常遇到的问题，图象法也是解题中常用的一种方法．图象的优点，首先在于它的直观性，我们可以通过“看”图象来寻找规律和解题的突破口．那么，看什么呢？为方便记忆，我总结为“六看”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．下面以运动图像为例加以说明．1．看“轴”：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图像是描述的哪两个物理量间的关系，如是位移－时间关系？还是速度－时间关系？同时要注意单位和标度．2．看“线”：“线”上的一个点，一般反映两个量的瞬时对应关系．如x－t图像上一个点对应某一时刻的位置，v－t图像上一个点对应某一瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理过程，x－t图象反映质点的位移随时间的变化关系；v－t图象反映质点的速度随时间的变化关系．3．看“斜率”：图象的斜率是两个轴所代表的物理量的变化之比，它往往代表另一个物理量的规律．例如，x－t图象的斜率表示速度，v－t图象的斜率表示加速度．读图1知：甲中质点的速度为；乙中质点的加速度为．图1甲213o24t/sx/m213o24t/sv/(m/s)乙
4．看“面”，即“面积”：图象和坐标轴所夹的面积也往往代表另一个物理量的规律．这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义，这可以从物理公式分析，也可以从单位的角度分析．如x和t乘积无意义，我们在分析x－t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积，v－t图象下的面积就表示位移．例如图乙中4s内的位移等于图象与t轴所围的“面积”，即．5．看“截距”：截距一般代表物理过程的初始情况，如t=0时的位移和速度．图1甲中的截距表示t=0时刻质点的位置(即出发点)在x=1m处；乙中的截距表示质点的初速度为．图2BA甲213o24t/sx/mDC213o24t/sv/(m/s)乙6．看“特殊点”：如交点，拐点（转折点）等．如图2中图象的交点表示A、B两质点在2s时相遇(2s时位于同一位置)；图乙中的交点说明2s时C、D两质点速度相等．例6 如图3所示为一物体做直线运动的速度—时间图像，由图象可知，这个物体在第2s内的加速度a＝________，在前5s内的平均速度v＝__________．12034t/sv/(m/s)-4图3解析：因为v－t的斜率表示加速度，所以第2秒内的加速度可以由1～3秒内的斜率求得，．求5秒内的平均速度，应先求出5秒内的位移，即用前3秒内的“三角形面积”加上3～5秒内的“三角形面积”（注意，3～5秒内的“面积”为负值）,，所以平均速度为．
答案： ； 随着学习的深入，你还会遇到各种图象，如动力学中的a－F图象、a－m图象，直流电路中的I－U图象，电磁感应和交流电中的B－t图象、Φ－t图象、E－t图象、U－t图象、I－t图象等，熟练运用运动的x－t和v－t图象解题，掌握运用图象解题的方法和技巧，可以为以后的学习打下坚实的基础，并在以后的学习中达到举一反三，融会贯通的境界．☆开拓视野刘徽的“割圆术”分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用．早在公元263年，魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”——圆内正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积．他著有《九章算术》，在书中有很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的想法，含有极限观念，是他的一个大创造．他用这种方法计算了圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值π=157／50(＝3．14)；后来又计算了圆内接正3072边形的周长，又得到了圆周率的近似值π=3927／1250(＝3．1416)，用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，早在古希腊的数学家阿基米德首先采用，但是阿基米德是同时采用内接和外切两种计算，而刘徽只用内接，因而较阿基米德的方法简便得多．☆课堂训练第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系A卷（基础训练）1．一个物体位移与时间的关系为x=5t+5t2(x以m为单位，t以s为单位)，下列说法中不正确的是()A．这个物体的初速度是2.5m/sB．这个物体的加速度大小是10m/s2
C．这个物体的初速度是5m/sD．这个物体加速度方向一定与初速度方向一致2.某物体做匀变速直线运动，下列说法正确的是（ ）A．物体的末速度必与时间成正比B．物体的位移必与时间的平方成正比C．物体速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比D．匀加速运动，位移和速度随时间增加，匀减速运动位移和速度随时间减少3．对于一个做匀减速直线运动的物体，在速度减小到零之前，下列说法正确的是（）A．速度越来越小，位移越来越小B．速度越来越小，位移越来越大C．加速度越来越小，位移越来越大D．速度越来越小，加速度越来越小4.物体从静止开始做匀加速直线运动，测得它在第ns内的位移为s，则物体运动的加速度为（）A.B.C.D.5．汽车以20m／s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m／s2，则从刹车起，汽车在6s内的位移是（）A．30m Ｂ．40m Ｃ．10m D．0m6．a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动，若初速度不同，加速度相同，则在运动过程中（）A．a、b的速度之差保持不变B．a、b的速度之差与时间成正比C．a、b的位移之差与时间成正比D．a、b的位移之差与时间的平方成正比7.从静止开始以的加速度匀加速直线运动的物体，2s末的速度为 ，2s内的位移为 ，第2s内的位移为 ，第2s内的速度变化量为 ，第2s内的平均速度为 ，速度达到10m/s所用时间为 ，发生16m的位移所用时间为 ，发生25m的位移时的速度为 ，相邻的两个1s内的位移差为 ．8.一列火车从静止开始做匀加速直线运动，某观察者站在第一节车厢前端，他测得第一节车厢通过他历时10s，全部列车通过他历时30s，设每节车厢长度相等，则这列火车的总节数为______节。9．一辆卡车初速度为v0=10m/s，以a=2m/s2的加速度行驶，求：（1）卡车在3s末的速度v（2）卡车在6s内的位移x6与平均速度（3）卡车在第6s内的位移xⅥ
10.汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2ｓ速度变为6m/s，求：(1)刹车后2ｓ内前进的距离及刹车过程中的加速度；(2)刹车后前进9ｍ所用的时间；(3)刹车后8ｓ内前进的距离.B卷（能力提高）1．一物体运动的位移与时间关系则（）A．这个物体的初速度为12m/sB．这个物体的初速度为6m/sC．这个物体的加速度为8m/s2D．这个物体的加速度为-8m/s22．根据匀变速运动的位移公式和，则做匀加速直线运动的物体，在t秒内的位移说法正确的是（）A．加速度大的物体位移大B．初速度大的物体位移大C．末速度大的物体位移大D．平均速度大的物体位移大3．质点做直线运动的v-t图象如图所示，则（）A．3~4s内质点做匀减速直线运动B．3s末质点的速度为零，且运动方向改变C．0~2s内质点做匀加速直线运动，4~6s内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2m/s2D．6s内质点发生的位移为8m4．若一质点从t=0开始由原点出发沿直线运动，其速度一时间图象如图所示，则该物体质点（）t/sv/(m/s)2405-5A．t=1s时离原点最远B．t=2s时离原点最远C．t=3s时回到原点D．t=4s时回到原点5．完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度
水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用时间之比为（）A．B．C．D．6．做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移为s，设这段时间的中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移的中间位置的瞬时速度为v2，则（）A．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2C．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1=v2D．匀加速运动时，v1v27．物体从静止开始以2m/s2的加速度做匀加速运动，则前6s的平均速度是_________，第6s内的平均速度是_____________，第6s内的位移是___________。8．物体由静止开始做匀加速直线运动，它最初10s内通过的位移为80m，那么它在5s末的速度等于_____________，它经过5m处时的速度等于____________。9．汽车以10m/s的速度行驶，刹车后获得大小为2m/s2的加速度，则刹车后4s内通过的位移为_________m，刹车后8s通过的位移为___________m。10．火车刹车后7s停下来，设火车匀减速运动的最后1s内的位移是2m，则刹车过程中的位移是多少米？参考答案A卷1.A提示：对照x=v0t+at2/2，可知，这个物体的初速度是5m/s.2.C3．B提示：由于做匀减速直线运动的加速度大小恒定，方向与速度方向相反，故运动速度越来越小，但位移确越来越大。B正确。4.D提示：（方法一）本题可以利用公式进行求解。物体在第ns内的位移，由于物体的初速度为零，由公式得：
，将以上两式代入得：得：，选项D正确。5.B提示：汽车刹车后4s末停止运动.6.AC提示：两者的速度之差，保持不变；位移之差与时间成正。7.4m/s，4m，3m，2m/s，3m/s，5s，4s，10m/s，2m．8.9提示：根据运动学公式有，由前两式得n＝9节.9.解析：（1）3s末速度v3=v0+at3=10+2×3=16m/s（2）6s内位移x6=v0t+at62=10×6+×2×36=96m6s内平均速（3）5s内位移x5=v0t+at52=10×5+×2×25=75m所以第6s内位移xⅥ＝x6－x5＝21m10.解析：(1)汽车刹车后做匀减速直线运动，由可求得a=-2m/s2，再由s=v0t+at2，可求得s=16ｍ，也可由直接求得s=16ｍ.(2)由s=v0t＋at２可得9=10t-t２，解得，t１＝１ｓ，ｔ２＝９ｓ，将t２＝９ｓ代入vt＝ｖ０＋at得vt＝－８m/s，即汽车刹车后又反向运动到位移是9ｍ处，这是不可能的.所以刹车后前进9ｍ所用时间为1ｓ.(3)设汽车刹车所用的最长时间为t，则经时间t汽车速度变为零.由vt＝ｖ0＋at可得t=5s，可见汽车刹车仅用了5ｓ，在8ｓ的时间内，汽车有3ｓ静止未动，因此，s=v０ｔ＋at２=25ｍ，或s=m.B卷1．BD2．D3．BC4．BD5．BD[来源:学|科|网Z|X|X|K]6．A解析：本题可利用匀变速直线运动的规律，用不同的方法解决。
ADCB图1解法I：利用运动简图分情况分析。若为匀加速直线运动，如图1所示，从A至B，中间位置为C，则前进AC段所用时间必然大于前进CB段所用时间，即中间时刻D必在C之前，所以v1
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