匀变速直线运动的位移与时间的关系教学设计[教学目标]1．知道匀速直线运动的位移与v-t图象中面积的对应关系。2．理解匀变速直线运动的位移与v-t图象中面积的对应关系，使学生感受到用极限思想解决物理问题的科学的思维方法。3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。[学情分析]学生只进行了较短时间高中物理知识的学习，对于高中物理知识在逻辑上的严密性还没有充分地认识。或者，经过较长时间的解题的教育，有些学生对于物理知识的来历已变得漠不关心，他们只想知道知识本身是什么，用在什么样的题目中，能解决什么样的问题。这样的两个因素对于高中物理知识的学习来说已经形成了非常大的障碍，因为“没有心理上的准备，就不会有实际中的发现”。就算是教师把非常好的研究过程展现在学生面前，他们也可能会视而不见，甚至被认为是毫无意义的“啰嗦”，这形成了本节课的最大困难。但好的一面是，学生的心智已发展的较为成熟，有着较强的理解能力，恰好，他们又处在求知欲强的年龄段。因此，只要有足够多的提醒，相信他们还是能够意识到所说的研究方法的重要性，接受它，并学会使用它。[教学方法]由于本节所涉及到的“微元法”学生之前接触得较少，加上操作过程较繁琐，逻辑性强。所以中间不适合有较多的分散学生的注意力的教学环节。比较适合借助一两个具体问题将方法系统的提出。因此本节选用问题探究和讲授法相结合的教学方法。[教学过程]1．匀速直线运动的位移与v-t图象中面积的关系学生通过阅读课本上相关的一小段话，理解二者的对应关系。教师再次强调，匀速直线运动的位移公式为??=????，而匀速直线运动的速度时间图象中图线下的面积恰好也是????。因此可以说，图象与横轴所围的矩形的面积恰好表示匀速直线1/6精品学习资料可选择pdf第1页，共6页-----------------------
运动的位移。（这一点对学生来说并不难理解，说得简单些，这只是一个对应关系的问题。）2．匀变速直线运动的位移前面已经学过，匀变速直线运动的速度时间图象为一条倾斜的直线。根据匀速直线运动的位移等于图线与横轴所围的面积的这个事实，可以让学生先猜测一下匀变速直线运动的位移应该和哪个面积对应相等。（如果这样做了，可进一步从统一美的角度审视一下这个猜测：如果猜测是正确的，那么物理规律是统一的，简单的，从而是美的。如果不然，我们会对这个意外的结果感到惋惜。这样就从心理上增强了学生对于做出的猜测的信心，只有有了信心，学生才会有热情去研究它。正如前文所说，这个猜测也可以不让学生去做。因为它在一定程度上会偏离我们的主要线索。）给学生展示一个这样的问题：一个同学骑自行车做匀加速直线运动，初速度为????/??，经过??????后速度增加到??.????/??，如图所示，试估计此同学在这??????内发生的位移。（问题刚一提出，就有学生表示，可以用初速度加上末速度再除以2，然后乘以运动时间。这是预习过课本内容的学生，这也是不知道教师提出这个问题的用意的学生，他很有可能对下面的这个探究的过程视而不见，取而代之的是专心地去“等待”心中的结果的出现。这时教师要提醒学生，我们是在想办法来解决这个问题。）v0=5??/??t=10sv=5.1??/??x=?观察这个运动我们会发现，虽然这是一个匀加速直线运动，但是，在运动的过程中，物体的速度变化并不是很明显。因此，我们可以把它近似地看成一个匀速直线运动的过程，认为在运动过程中是保持????/??的速度不变的。这样就可以顺利的估计出在??????内发生的位移了，而我们也相信，这个结果和真实的情况之间不会有太大的偏差。??=??????=??????（在这里还可以给学生说明，实际当中，并没有严格的匀速直线运动，只有近似的，而我们上面遇到的问题，就是一个很好的可以看成匀速直线运动的例子）进一步，我们把上面的问题变得复杂些，物体的末速度改为??.????/??，再估计这个过程的位移。当然，我们仍可以把整个运动过程看成一个匀速直线运动过程，还可以像上面那样估计过程中的位移。但有些同学可能变得不再放心，因为现在末速度比初速度大得更多一些了。为了让这些同学满意，我们可以想个办法——把整个运动过程分成两个阶段，第一阶2/6精品学习资料可选择pdf第2页，共6页-----------------------
段速度从????/??增加到??.????/??，第二个阶段速度从??.????/??增加到??.????/??，那么，初速度与末速度所差的数值就不是很大了。我们可以像上面那样用每个阶段的初速度近似地代替整个过程的速度，放心地去求两个阶段的位移，最后把两个阶段的位移加起来表示整个过程的位移。??=????????+????????=????.????我们可以进一步把上面的问题变得复杂，物体的末速度改为????/??，为了使我们在计算中能够放心——就是使误差保持在我们能够接受的范围内，可以将整个运动过程分为10份。在第1s中，速度从????/??增加到了??.????/??；第2s中物体的速度从??.????/??增加到了??.????/??,,；在第10s中，物体的速度从??.????/??增加到了????/??。那么，初速度与末速度所差的数值又不是很大，我们还可以像上面那样放心地去求10个阶段的位移，最后把10个阶段的位移加起来表示整个过程的位移。??=????????+????????+?+????????=????.????如果运动变得更加复杂，就把过程划分为更多的小份，使每份当中的速度变化不是很大，从而满足我们心理上的准确性的要求（上面的要求是初速度与末速度的差不能超过??.????/??）。这样一来，从理论上来说，我们可以将任何一种形式的变速运动过程划分为足够多的份，而每一份中物体的速度变化不是很大，即每一小份都可以当作匀速直线运动来处理。下面我们对计算的精度提出更高的要求，进行更深一步的讨论。如果在上面最后的例子中，认为初末速度相差??.??????/??才可以近似看作是匀速直线运动，则需要把运动过程分成100份。在每一份中，由于初末速度相差更小，物体的运动更接近于匀速直线运动，所以用匀速直线运动规律求出的位移??=????????+????????+?+????????????更接近于真实的情况。同样的，我们可以将初末速度的差别控制在更小的范围内，使得计算出来的结果更加接近于真实情况。下面列出了将初末速度的差控制在??.????????/??、??.??????????/??、??.????????????/??的情况对应的位移??=????????+????????+?+??????????????????=????????+????????+?+??????????????????????=????????+????????+?+????????????????????????位移的精度在不断地提高，同时我们也付出了计算越来越繁琐的代价。另外，虽然精3/6精品学习资料可选择pdf第3页，共6页-----------------------
度随着分得的份数的增加可以达到任何的我们的期望，但毕竟都是近似值。要得到准确的结果，需要将运动过程划分为无限多份，可是同时我们的计算也变得过于繁琐而不可能。现在的情况是山穷水尽，几乎无路可走了。在这种情况下，换一个角度来看待问题，往往会柳暗花明。vvvvv0v0OOtttt(a)(b)vvvvv0v0OOtttt(c)(d)如上图所示，如果我们把整个过程都看成是匀速直线运动，则相当于图（a）中用一个矩形的面积表示整个过程的位移，这个估算方法误差是比较大的。如果把整个运动过程看成两个匀速直线运动，如图（b）所示，则相当于用两个矩形的面积的和代表整个过程的位移，这个估算方法误差较图（a）的处理就小些了。想得到更准确的结果，就要把运动过程分成更多个小份，这时的位移等于更多的小的矩形的面积的和，如图（c）所示。至此，我们只不过是重复上面用公式计算位移的过程，问题也并没有因此而变得简单。真正让我们受启发的是，当我们从整体上把握上面得到的速度时间图象中的矩形面积和时，同时当我们从整体上把握从图（a）到图（c）的变化规律时，意外地发现，所有的矩形的面积的和（也就是实际发生的位移）在不断的接近图线下梯形的面积。为此，我们可以将份数分的更多，如图（d）所示，份数无限多时，所有矩形的面积和将等于梯形的面积。拿这个结果对比前面的结果时，可以知道，当分得的份数无限多时，一方面无限个分过程的位移和等于整个过程的位移，别一方面无限个分位移的和（所有矩形的面积的和）等于图4/6精品学习资料可选择pdf第4页，共6页-----------------------
线下的梯形的面积。因此可以说，图线下梯形的面积就准确的表示着物体实际发生的位移。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．这个结论允许我们通过求图线下的梯形的面积来准确的得到物体实际的位移。回顾上面的过程，我们其实是用到了微积分的思想，用简短的几句话来概括就是：大化小，常代变，近似和，求极限。所谓大化小，就是将一个整个的过程划分为好多个小份，好多个分过程；常代变，就是在每一小份或说每个分过程中，由于速度的变化不是明显的，因此可以用初速度这一常量，来代替过程中一直在变化的速度，即用匀速运动近似代替变速运动；近似和，指的是将每个分过程看成匀速直线运动后计算的分位移的总和，它总是近似的而非准确的；求极限，指的是分得的份数越多，近似计算的结果就越准确，将份数分的无限多，并且保证其中每一份的长度都趋近于零时，近似的结果就变成准确的结果了。再向学生强调，分成无限多份的做法实际上是愚蠢的，它使得计算变得过于复杂而几乎不可能。但当我们转变了看待问题的观点——从整体出发时，才发现了直接计算整体的巧妙方法。此时，给学生提出问题：如何求图线下梯形的面积？（面积可用位移的符号x表示）vvv0Ott学生可能提出的方案：??（1）用梯形的面积公式，可知??=????+????。??（2）梯形的面积等于阴影部分小矩形的面积加上它上面三角形的面积??=??????+????-??????。????（3）梯形的面积等于大矩形的面积减去上面三角形的面积??=????-??-??????。??,,老师对学生提出的方案表示肯定。然后指出，在匀变速直线运动的速度与时间的关系式??=????+????中，我们只要知道了物体的初速度和加速度，就可以知道物体在任意时刻的5/6精品学习资料可选择pdf第5页，共6页-----------------------
速度。那么，我们可不要吧也找这个一个相似的位移与时间的关系式，只要知道了物体的初速度和加速度，可以求出物体在任意时间内的位移？学生可能会想到将速度公式代入到上面提出的方案中，这样，结果中就只含有初速度、加速度和时间这三个物理量了。鼓励学生实施自己的方案，看得到怎样的结果。学生得到结果后让他们交换意见，发现，虽然不同的同学采用的方案不同，但最后得到的关系式是一致的。这个关系式，就是做匀变速直线运动的物体的位移与时间的关系式。??????=??????+??????结合前面的速度公式??=????+????我们可以说，只要知道物体的初度和加速度，它在以后的任意一个时刻的速度及位置都是可以确定的。科学家们预言什么时候发生日食月食，什么时候彗星回归，什么时候天体间会发生碰撞等，都是用到了这个原理。只不过他们要用复杂的数学，处理更复杂的运动6/6精品学习资料可选择pdf第6页，共6页-----------------------
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