人教版数学九年级上册专项培优练习一《二次函数面积问题》（含答案）

人教版数学九年级上册专项培优练习一《二次函数面积问题》一、选择题1.圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是()A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数C.S是R的二次函数D.以上答案都不对2.正方形的边长为3，若边长增加x时，面积增加y，则y关于x的函数表达式为()A.y＝x2＋9B.y＝(x＋3)2C.y＝x2＋6xD.y＝9﹣3x23.下列图形中阴影部分的面积相等的是(  )A.②③B.③④C.①②D.①④4.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，BC＝2cm，∠A＝30°，四边形DEFG为矩形，DE＝2cm，EF＝6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止.设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs.能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是(  )5.如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB边上的一个动点，设AP＝x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为()A.4B.2C.12D.4 6.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为()A.B.C.D.7.如图，将函数y=(x－2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式为().A.y=(x－2)2－2B.y=(x－2)2+7C.y=(x－2)2－5D.y=(x－2)2+48.如图，将抛物线C1：y=x2+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点为A，点P是抛物线C2上一点，则△POA的面积的最小值为()A.3B.3.5C.4D.4.5 二、填空题9.如图，点E是抛物线y＝a(x﹣2)2＋k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点，连结AC、AB.若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是.10.抛物线y＝x2﹣4x＋3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是.11.如图，抛物线y=﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E.把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF.则图中阴影部分图形的面积为    .12.如图，抛物线y1=x2﹣2向右平移一个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S=.13.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B的中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C的中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为______. 14.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2.现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1.下列结论中，正确的是(填序号).①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=－1，则b2=4a.三、解答题15.如图，抛物线y=－x2＋2x＋3与y轴交于点C，顶点为D.(1)求顶点D的坐标；(2)求△OCD的面积.16.已知二次函数的图象经过点(0，3)，顶点坐标为(1，4)，(1)求这个二次函数的解析式(2)求图象与x轴交点A、B两点的坐标.(3)图象与y轴交点为点C，求三角形ABC的面积. 17.在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积；(3)若直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.18.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式. 19.如图，二次函数y=ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0).(1)求a，b的值.(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.20.有一座横断面为抛物线形状的拱桥，其水面宽AB为18m，拱顶O离水面AB的距离OM为8m，货船在水面以上部分的横断面是矩形CDEF，建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求此抛物线的二次函数表达式.(2)如果限定矩形的长CD为9m，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥？(3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围. 21.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．22.如图，抛物线y=ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B.(1)求a，b的值.(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围. 23.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 参考答案1.C.2.A.3.B4.C5.D6.B7.D.8.B9.答案为：2.10.答案为：111.答案为：4.12.答案为：2.13.答案为：32.14.答案为：③④.15.解：(1)y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，即顶点D的坐标为(1，4).(2)把x=0代入y=－x2＋2x＋3，得y=3，即OC=3，S△OCD=×3×1=.16.解：(1)求出解析式y=-(x-1)2+4.(2)求出A(﹣1，0)和B(3，0)；(3)面积是6.17.解：(1)由题意解得,∴抛物线解析式为y＝x2﹣x＋2.(2)∵y＝x2﹣x＋2＝(x﹣1)2＋.∴顶点坐标(1,),∵直线BC为y＝﹣x＋4,∴对称轴与BC的交点H(1,3), ∴S△BDC＝S△BDH＋S△DHC＝••3＋••1＝3.(3)由消去y得到x2﹣x＋4﹣2b＝0,当△＝0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)＝0,∴b＝,当直线y＝﹣x＋b经过点C时,b＝3,当直线y＝﹣x＋b经过点B时,b＝5,∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B.C)部分有两个交点,∴＜b≤3.18.解：将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，过点D作DF⊥AC于点F，则四边形AFDE是矩形.∴AC＝AE＝DF＝4BC，AF＝DE＝BC，∴CF＝AC﹣AF＝4BC﹣BC＝3BC.∴在Rt△CDF中，CD＝＝＝5BC＝x.∴BC＝x.∴AE＝AC＝x，DE＝x.∵S四边形ABCD＝S梯形ACDE＝(DE＋AC)×AE，∴y＝(x＋x)×x＝x2.19.解：(1)将点A(2，4)，B(6，0)的坐标分别代入y=ax2＋bx，得解得(2)如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连结AC，BC，CD. 则S△OAD=OD·AD=×2×4=4，S△ACD=AD·CE=×4×(x－2)=2x－4，S△BCD=BD·CF=×(6－2)×(－x2+3x)=－x2＋6x，∴S=S△OAD＋S△ACD＋S△BCD=4＋2x－4－x2＋6x=－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S=－x2＋8x(2＜x＜6).∵S=－x2＋8x=－(x－4)2＋16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.20.解：（1）y=－x2.（2）∵CD=9,∴点E的横坐标为4.5，则点E的纵坐标为－×()2=－2.∴点E的坐标为（,－2）.∴要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过8－2=6（m）.（3）∵EF=a，∴点E坐标为（a,－a2）∴ED=8－│－a2∣=8－a2.∴S矩形CDEF=EF·ED=8a－a3（0＜a＜18）.21.解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=x2＋x﹣4；(2)∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：(m，m2＋m﹣4)，∴S=S△AOM＋S△OBM﹣S△AOB=×4×(﹣m2﹣m＋4)＋×4×(﹣m)﹣×4×4=﹣m2﹣4m=﹣(m＋2)2＋4，∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4＋8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．(3)设P(x，x2＋x﹣4)．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q(x，﹣x)．由PQ=OB，得|﹣x﹣(x2＋x﹣4)|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为(4，﹣4)．由此可得Q(﹣4，4)或(﹣2＋2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2＋2)或(4，﹣4)．22.解：(1)将x=2代入y=2x，得：y=4，∴点M(2，4)，由题意，得：，∴；(2)如图，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2＋4x，∴PH=﹣m2＋4m， ∵B(2，0)，∴OB=2，∴S=OB•PH=×2×(﹣m2＋4m)=﹣m2＋4m，∴K==﹣m＋4，由题意得A(4，0)，∵M(2，4)，∴2＜m＜4，∵K随着m的增大而减小，∴0＜K＜2.23.解：(1)y=﹣x2＋2x＋3(2)易求直线BC的解析式为y=﹣x＋3，∴M(m，﹣m＋3)，又∵MN⊥x轴，∴N(m，﹣m2＋2m＋3)，∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m(0＜m＜3)(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN=﹣m2＋3m=﹣(m﹣)2＋，所以当m＝时，△BNC的面积最大为.