2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业24《解三角形的应用》（教师版）

课时作业25 解三角形的应用一、选择题1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( D )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( A )A．50(＋1)mB．100(＋1)mC．50mD．100m解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin75°＝100×＝50(＋1)(m)．3．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( D )A.km2B.km2C.km2D.km2解析：连接AC，根据余弦定理可得AC＝km，故△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝xkm，根据余弦定理得x2＋x2＋x2 ＝3，即x2＝＝3×(2－)，所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×＝＝(km2)．4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋，则b的最小值为( A )A．2B．3C.D.解析：由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝.由S△ABC＝acsinB＝1＋，得ac＝2＋4.又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－ac＝(2－)(4＋2)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2.故选A.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为( C )A．28B．36C．48D．56解析：在△ABC中，2ccosB＝2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.又A＝π－(B＋C)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosC＝－，又0