2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业13《变化率与导数、导数的计算》（教师版）

课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．给出下列结论：①若y＝log2x，则y′＝；②若y＝－，则y′＝；③若f(x)＝，则f′(3)＝－；④若y＝ax(a>0)，则y′＝axlna.其中正确的个数是( D )A．1B．2C．3D．42．已知函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( B )A.B.C．1＋xD．1－x解析：函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝＝，故选B.3．若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( C )A．(1,3)B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3)D．(1，－3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．4．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( B )A.B．1C．2D．e 解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.5．曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( A )A.B．2C．3D．2解析：设与直线2x－y＋3＝0平行且与曲线y＝2lnx相切的直线方程为2x－y＋m＝0.设切点为P(x0，y0)，∵y′＝，∴斜率k＝＝2，解得x0＝1，因此y0＝2ln1＝0，∴切点为P(1,0)，则点P到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝，∴曲线y＝2lnx上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.6．过点(－1,1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有( C )A．0条B．1条C．2条D．3条解析：设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，当a≠－1时，可得切线的斜率k＝3a2－2a－2＝，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此时k＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．7．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是( B )A.B.C.D．(e，＋∞)解析：由题意知，方程f′(x)＝－有解，即ex－m＝－有解，即ex＝m－有解，故只要m－>0，即m>即可，故选B.8．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( B )A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上解析：f′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，结合题意知4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B. 二、填空题9．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.解析：y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.10．已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(2x－1)lnx，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为－1.解析：当x>0时，f′(x)＝2lnx＋，则f′(1)＝1，∵函数f(x)是偶函数，∴f′(－1)＝－1.11．若函数y＝2x3＋1与y＝3x2－b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b＝0或－1.解析：设公共切点的横坐标为x0，函数y＝2x3＋1的导函数为y′＝6x2，y＝3x2－b的导函数为y′＝6x.由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x＝6x0且1＋2x＝3x－b，解得x0＝0，b＝－1或x0＝1，b＝0.故实数b＝0或－1.三、解答题12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.13．已知函数f(x)＝e2x－2ex＋ax－1，曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为( B )A．(3，＋∞)B.（3，）C.（-∞，）D．(0,3)解析：f(x)＝e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)＝2e2x－2ex＋a，由题意可得2e2x－2ex＋a＝3的解有两个，即有（ex-）2＝，即为ex＝＋或ex＝－，即有7－2a>0且7－2a