课时作业44 立体几何中的向量方法第一次作业 基础巩固练1．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(－1，－，0)，＝(1，，)，＝(0,0，)为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2．如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥
平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λFA.(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．解：(1)当λ＝时，CE∥平面BDF.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF，∵CD∥AB，AB＝2CD，∴＝＝，∵EF＝FA，∴＝＝，∴GF∥CE，又CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，连接DO，∵BO∥CD，且BO＝CD＝1，∴四边形BODC为平行四边形，∴BC∥DO，又BC⊥AB，∴AB⊥OD，则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，D(1,0,0)，C(1，－1,0)，E(0,0，)．当λ＝1时，有＝，∴F(0，，)，∴＝(1,1,0)，＝(－1,1，)，＝(0，，)．设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝，得y＝－1，x＝1，则n＝(1，－1，)为平面BDF的一个法向量，
设直线CE与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝，故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.3．如图，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值．解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ACD，又DC⊥AC，平面PAC∩平面ACD＝AC，∴DC⊥平面PAC.如图，以点A为原点，AC所在直线为x轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∴A(0,0,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，D(2，2，0)，N(1，，0)，
∴＝(－1，，0)，＝(1，，－2)，设n＝(x，y，z)是平面PCN的法向量，则即可取n＝(，1，)又平面PAC的一个法向量为＝(0，2，0)，∴cos〈，n〉＝＝＝，由图可知，二面角NPCA的平面角为锐角，∴二面角NPCA的平面角的余弦值为.4．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，点E在PC上，DE⊥平面PAC.(1)证明：PA⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°，求DE的长．解：(1)证明：由DE⊥平面PAC，得DE⊥PA，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又CD∩DE＝D，所以PA⊥平面PCD.(2)取AD的中点O，连接PO，因为PA＝PD，所以PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图．
由(1)得PA⊥PD，由AD＝2得PA＝PD＝，OP＝1，设CD＝a，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，－1,0)，则＝(－a,2,0)，＝(a,1，－1)，设m＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，由得令x＝2，则y＝a，z＝3a，故m＝(2，a,3a)为平面PBC的一个法向量，由(1)知n＝＝(a,0,0)为平面PAD的一个法向量，由|cos〈m，n〉|＝＝||＝，解得a＝，即CD＝，所以在Rt△PCD中，PC＝，由等面积法可得DE＝＝.5.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角．解：(1)证明：由题意知AC＝2，BC＝2，AB＝6，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝，∴cos∠ABC＝＝.又易知BD＝2，∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，
∴CD＝2，又AD＝4，∴CD2＋AD2＝AC2，∴CD⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，∴PD⊥平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，∴可建立如图所示的直角坐标系Dxyz，∵直线PA与平面ABC所成的角为，即∠PAD＝，∴PD＝AD＝4，则A(0，－4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，∴＝(－2，2,0)，＝(2，4,0)，＝(0，－4，－4)．∵AD＝2DB，CE＝2EB，∴DE∥AC，由(1)知AC⊥BC，∴DE⊥BC，又PD⊥平面ABC，∴PD⊥BC，∵PD∩DE＝D，∴CB⊥平面PDE，∴＝(－2，2,0)为平面PDE的一个法向量．设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得x＝，y＝－1，∴n＝(，－1,1)为平面PAC的一个法向量．∴cos〈n，〉＝＝－，∴平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30°.第二次作业 高考·模拟解答题体验1．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P(，－，2)，从而＝(－，－，2)，＝(0,2,2)，故|cos〈，〉|＝＝＝.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q(，，0)，因此＝(，，0)，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.所以AC⊥平面BEF.(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE.如图建立空间直角坐标系Exyz.由题意得E(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1)．所以＝(－1，－2,0)，＝(1，－2,1)．设平面BCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则即令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4.于是n＝(2，－1，－4)．又因为平面CC1D的法向量为＝(0,2,0)，所以cos〈n，〉＝＝－.由题知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为－.(3)证明：由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，＝(0,2，－1)．因为n·＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0，所以直线FG与平面BCD相交．3．如图所示，四棱锥PABCD的底面为矩形，已知PA＝PB＝PC＝BC＝1，AB＝，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于E.(1)试判定点E的位置，并加以证明；(2)求二面角EACD的余弦值．解：(1)E为PD的中点．证明如下：如图，连接OE，因为PB∥平面AEC，平面PBD∩平面AEC＝OE，PB⊄平面AEC，所以PB∥OE.又O为BD的中点，所以E为PD的中点．(2)连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC.因为PA＝PC，所以PO⊥AC.同理，得PO⊥BD，所以PO⊥平面ABCD.
以O为原点，OP所在直线为z轴，过O平行于AD的直线为x轴，过O平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系(如图所示)．易得A，B，C，D，P，E，则＝，＝，＝.显然是平面ACD的一个法向量．设n1＝(x，y，z)是平面ACE的法向量，则即取y＝1，则n1＝(，1,2)，所以cos〈n1，〉＝＝，所以二面角EACD的余弦值为.4．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝AA1＝2，D为棱CC1的中点，AB1∩A1B＝O.(1)证明：C1O∥平面ABD；(2)设二面角DABC的正切值为，AC⊥BC，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为，求的值．解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接OF，DF.∵侧面ABB1A1为平行四边形，∴O为AB1的中点，∴OF∥BB1，OF＝BB1.又C1D∥BB1，C1D＝BB1，∴OF∥C1D，OF＝C1D，∴四边形OFDC1为平行四边形，∴C1O∥DF.∵C1O⊄平面ABD，DF⊂平面ABD，∴C1O∥平面ABD.(2)如图，过C作CH⊥AB于H，连接DH，则∠DHC即为二面角DABC的平面角．
∵DC＝1，tan∠DHC＝，∴CH＝.又AC＝2，AC⊥BC，∴BC＝2.以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．则A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)，∴＝(－2,2,0)，＝(0，－2,1)．设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则取y＝1，可得n＝(1,1,2)．设＝λ(0≤λ≤1)．∵＝(2，－2,2)，∴＝＋λ＝(2λ，2－2λ，2λ)，∴CE与平面ABD所成角的正弦值为|cos〈，n〉|＝＝，整理，得36λ2－44λ＋13＝0，解得λ＝或，即＝或.5．如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝2，DE＝3.(1)求证：平面ACE⊥平面BED；(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；(3)在线段AF上是否存在点M，使得二面角MBED的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，DE⊂平面ADEF，DE⊥AD，所以DE⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC.
又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为DE∩BD＝D，DE⊂平面BED，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．则A(3,0,0)，F(3,0,2)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，＝(3，－3,0)，＝(－3，－3,3)，＝(3,0，－)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝，得n＝(，2，3)．所以cos〈，n〉＝＝＝－.所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为.(3)假设存在点M在线段AF上，设M(3,0，t)，0≤t≤2，则＝(0，－3，t)，＝(－3，－3,3)．设平面MBE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则令y1＝t，得m＝(3－t，t,3)．所以|cos〈m，〉|＝＝＝，整理得2t2－6t＋15＝0，解得t＝或t＝(舍)，故在线段AF上存在点M，使得二面角MBED的大小为60°，此时＝.
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