2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业40《空间点、直线、平面之间的位置关系》（教师版）

课时作业40 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是( A )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( D )A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直．故选D.3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( A )A．6B．12C．12D．24解析：如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角，大小为45°，故S四边形EFGH＝3×4×sin45°＝6.故选A.4．在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为( D )A.B.C.D.解析：如图，过点E作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，连接NE，D1 G，所以平面EMN∥平面ABCD，易知EG∥BF，所以异面直线BF与D1E的夹角为∠D1EG，不妨设正方体的棱长为2，则GE＝，D1G＝，D1E＝3，在△D1EG中，cos∠D1EG＝＝，故选D.5．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( C )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：如果c与a、b都平行，那么由平行线的传递性知a、b平行，与异面矛盾．故选C.6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为( C )A．1B．4C．7D．8解析：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是0或1.解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．8．在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA的中点，则异面直线MN和CD所成角的余弦值为.解析：取AC的中点E，连接NE，ME，由E，N分别为AC，AD的中点，知NE∥ CD，故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角，即∠MNE.设正四面体的棱长为2，可得NE＝1，ME＝1，MN＝，故cos∠MNE＝＝.9.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是④.(填写所有正确说法的序号)①EF与GH平行；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；④EF与GH的交点M一定在直线AC上．解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，∴点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．三、解答题10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC. 因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)D1B与CC1是异面直线．理由如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．11．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 12．如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( A )A.B.C.D.解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为.13．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是①②③(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥EABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故② 正确；记正方体的体积为V，则VEABC＝V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．14.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．解：(1)解法1：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥EC∥FB且OM＝EC＝FB，所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．解法2：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB⊂平面PBQ，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF. 又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝＝＝，所以BM与EF所成的角的余弦值为.15．平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( A )A.B.C.D.解析：如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，所以m1∥m，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.16．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD＝2，AA1＝，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC＝QP，则线段BQ的长度的最大值为6.解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(1,0，)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因为QC＝QP，所以＝⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4，所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0，BQ＝＝＝，根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，所以2≤BQ≤6，故线段BQ的长度的最大值为6.