2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业52《曲线与方程》（教师版）

课时作业52 曲线与方程一、选择题1．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( B )解析：原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．2．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( D )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.3．方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲线是( D )A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3＝0或②注意到圆x2＋y2－2x＝0上的点均位于直线x＋y－3＝0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x＝0上的点均不满足x＋y－3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3＝0.4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( A )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．∵＝λ1＋λ2，∴得又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．5．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( A ) A．x2－＝1(x>1)B．x2－＝1(x0)D．x2－＝1(x>1)解析：设另外两个切点为E，F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝21)．6．过抛物线x2＝4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是( A )A．y＝－1B．y＝－2C．y＝x－1D．y＝－x－1解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2＝4kx＋4，即x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.将y＝x2求导得y′＝x，所以由x2＝4y得两方程相除得＝，变形整理得y＝＝＝－1，所以交点P的轨迹方程是y＝－1.二、填空题7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是y＝2x－2.解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝ AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是y2＝x－.解析：如图，过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，易证得PH⊥A1D1.设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.9．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是＋＝1.解析：如图，由＝＋，又＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.三、解答题10.如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A( ，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．解：圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的垂直平分线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，知点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.11．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是－＝1.解析：由正弦定理得－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为－＝1.12．如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足＝.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由＝，知P(x,2y)，∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k＝－6k＝.∵四边形OAEB为平行四边形，∴＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，又＝(x，y)，∴消去k得，x2＋4y2－6x＝0，由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，得k2