课时作业49 椭圆一、选择题1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( A )A．4B．3C．2D．5解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.2．曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(kb>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( C )A.B.C.D.解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.6．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )A.B.C.D.解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e20)，由题意可得解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m20得m>1.且有|PQ|＝|x1－x2|＝·＝，原点到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×·×＝2，解得m＝>1，故椭圆方程为＋＝1.(3)直线l的垂线为ON：y＝x，由解得交点N(1,1)．因为|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3，所以λ＝＝＝＝1，故λ的值为1.13．如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( D )
A．20B．10C．2D．4解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，得得N(c，)，∴H(0，)，M(－2c，－)．把点M的坐标代入椭圆方程得＋＝1，化简得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4，故选D.14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．解：(1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2
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