2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业53《最值、范围、证明问题》（教师版）

课时作业53 最值、范围、证明问题第一次作业 基础巩固练1．已知动圆C与圆C1：(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线l：x＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E的方程；(2)若动点M为直线l上任一点，过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A，B两点，求证：kMA＋kMB＝2kMP.解：(1)由题知，动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E的方程为y2＝8x.(2)证明：由题知当直线AB的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB的方程为x＝my＋1，联立消去x，得y2－8my－8＝0，Δ＝64m2＋32>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(－1，t)，则y1＋y2＝8m，y1·y2＝－8，x1＋x2＝8m2＋2，x1·x2＝1，而2kMP＝2·＝－t，kMA＋kMB＝＋＝＝＝＝－t，所以kMA＋kMB＝2kMP. 2.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(1,0)，过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C，＝6.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q，求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程．解：(1)由题知A(－a,0)，C(0，a)，故B，代入椭圆E的方程得＋＝1，结合a2－b2＝1，得a2＝4，b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)由题知，直线l不与x轴重合，故可设l：x＝my＋1，代入＋＝1得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，连接ON，由Q与M关于原点对称知，S△MNQ＝2S△MON＝|y1－y2|＝＝＝，∵≥1，∴3＋≥4，∴S△MNQ≤3，当且仅当m＝0时，等号成立，∴△MNQ面积的最大值为3，此时直线l的方程为x＝1. 3．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋，A，B.由消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.∴M，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则可得y1＋y2＝，y1y2＝.＝＋＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，∴||2＝|＋|2＝16－＋，由此可知，||2的大小与k2的取值有关．由＝λ可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．从而λ＋＝＋＝＝，由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.令t＝，则t∈，∴||2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，|QC|min＝2.5．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－，设△OAB的面积为S，由x1x2＝－0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴00)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程．解：(1)由椭圆的定义知4a＝4，a＝，由e＝知c＝ea＝1，b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，|F1F2|＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－1，联立x＝my－1与＋y2＝1，得(m2＋2)y2－2my－1＝0，|y1－y2|＝，S△ABF2＝2＝2，当m2＋1＝1，m＝0时，S△ABF2最大为，l：x＝－1.2．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2 与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求·的取值范围．解：(1)由题意知＝，·2c·b＝，a2＝b2＋c2，解得c＝1，a＝2，b＝.所以椭圆M的标准方程是＋＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线AB：y＝kx＋m.将y＝kx＋m，代入＋＝1得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为B，C，F2共线，所以kBF2＝kCF2，即＝，整理得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以2k－(m－k)－2m＝0，解得m＝－4k.所以直线AB：y＝k(x－4)，与x轴交于定点P(4,0)．因为y＝3－x，所以·＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝2－.因为－2b>0)的焦距与椭圆Ω：＋y2＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l与直线OA(O为坐标原点)垂直，且l与W交于M，N两点．(1)求W的方程；(2)求△MON的面积的最大值．解：(1)由题意可得∴故W的方程为＋＝1.(2)联立得∴＝.又A在第一象限，∴kOA＝＝.故可设l的方程为y＝－3x＋m. 联立得31x2－18mx＋3m2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∴|MN|＝×＝×.又O到直线l的距离为d＝，则△MON的面积S＝d·|MN|＝，∴S＝≤(m2＋31－m2)＝，当且仅当m2＝31－m2，即m2＝时，满足Δ>0，故△MON的面积的最大值为.5．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，故|AQ|＝y2. 由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.由方程组消去x，可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，由方程组消去x，可得y2＝.由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝，或k＝.所以，k的值为或.