2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业37《基本不等式》（教师版）

课时作业37 基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是( C )A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析：对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，所以lg≥lgx；对选项B，当sinx0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝( C )A．2B．4C．2D．2解析：∵a>0，b>0，∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．∵ab的最大值为2，∴＝2，t2＝8.又t＝a＋b>0，∴t＝＝2.4．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( D )A.B.C．－1D．0解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈ ，所以f(x)在上的最小值是0.5．已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( C )A．3B.C．4D.解析：∵x＋y＋＋＝5，∴(x＋y)[5－(x＋y)]＝(x＋y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，∴1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4，当且仅当x＝y＝2时取得．6．已知x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，若2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，则实数t的取值范围是( B )A．(－∞，－8)∪(3，＋∞)B．(－8,3)C．(－∞，－8)D．(3，＋∞)解析：∵x>0，y>0，且3x＋2y＝xy，可得＋＝1，∴2x＋3y＝(2x＋3y)＋＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．∵2x＋3y>t2＋5t＋1恒成立，∴t2＋5t＋10，则的最小值为－1.解析：＝＝4a－5＋.∵a>0，∴4a－5＋≥2－5＝－1，当且仅当4a＝，即a＝时取等号，∴的最小值为－1.9．若x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则x＋2y的最小值是3.解析：因为x>0，y>0，x＋4y＋2xy＝7，则2y＝.则x＋2y＝x＋＝x＋2＋－3≥2－3＝3，当且仅当x＝1时取等号．因此其最小值是3.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题11．已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.(1)求＋的最小值．(2)是否存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.从而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5. 12．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值．解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．(2)因为8