课时作业66 参数方程1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解：(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．故直线AM的参数方程为(t为参数)．2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ代入上式，得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1，C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，则kC1C2＝＝1，∴直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4，∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.
3．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0. ①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.4．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，得cos2α>，由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cosα，t1·t2＝3，由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|，由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cosα)2＝5×3，解得cos2α＝，满足cos2α>，所以sin2α＝，tan2α＝，所以直线l的斜率k＝tanα＝±.5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝
，且直线l经过曲线C的左焦点F.(1)求直线l的普通方程；(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．解：(1)曲线C的极坐标方程为ρ2＝，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得＋＝1，所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1，于是c2＝a2－b2＝2，F(－，0)．直线l的普通方程为x－y＝m，将F(－，0)代入直线方程得m＝－，所以直线l的普通方程为x－y＋＝0.(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cosθ，sinθ)(0
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