2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业65《坐标系》（教师版）

课时作业65 坐标系1．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径|PC|＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.2．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.3．已知直线l的参数方程为(t为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ＋2.(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；(2)若α＝，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．解：(1)直线l经过定点(－1,1)，由ρ＝ρcosθ＋2得ρ2＝(ρcosθ＋2)2，得曲线C的普通方程为x2＋y2＝(x＋2)2，化简得y2＝4x＋4.(2)若α＝，得的普通方程为y＝x＋2，则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋2，联立曲线C：ρ＝ρcosθ＋2.因为ρ≠0得sinθ＝1，取θ＝，得ρ＝2，所以直线l与曲线C的交点为. 4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.连接OB.如图．因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，曲线C2的参数方程为(θ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)射线y＝x(x≥0)与C1异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|.解：(1)将代入曲线C1的方程：(x－1)2＋y2＝1，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线C2的普通方程为＋y2＝1，将代入，得到C2的极坐标方程为ρ2(1＋sin2θ)＝2.(2)射线的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，与曲线C1的交点的极径为ρ1＝2cos＝，射线θ＝(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径满足ρ＝2，解得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝－.6．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积是，求实数a的值． 解：(1)由得ρcosθ＝ρsinθ，所以θ＝.将化为直角坐标方程为(x－3)2＋(y－a)2＝3，所以x2＋y2－6x－2ay＋a2＋6＝0.将代入上式得ρ2－6ρcosθ－2aρsinθ＋a2＋6＝0.圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ－2aρsinθ＋a2＋6＝0.(2)因为S△ABC＝AC·BCsin∠ACB＝××sin∠ACB＝，得∠ACB＝或π，当∠ACB＝时，|AB|＝.由(1)知直线l的极坐标方程为θ＝，代入圆C的极坐标方程得ρ2－(3＋a)ρ＋a2＋6＝0.所以|ρ1－ρ2|2＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝(3＋a)2－4(a2＋6)＝3，化简得a2－6a＋18＝0，解得a＝3＋3或a＝3－3.当∠ACB＝π时，|AB|＝3，同理计算可得a＝4或a＝2.综上：a的取值为3±3或2或4.