(通用版)高考数学选填考点压轴题型34《逆用导数的四则运算法则构造函数》(含答案详解)

题型34逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于、，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2.常见的构造函数:①对于，构造；一般的，对于，构造．②对于，构造；一般的，对于，构造．③对于，构造；一般的，对于，构造．④对于，构造；一般的，对于，构造．⑤对于，即，构造．⑥对于，构造．⑦对于，构造.⑧对于，构造.⑨对于，构造.【典型题示例】例1已知偶函数(x≠0)的导函数为，，当x＞0时，，则使成立的x的取值范围是．（其中e为自然对数的底数）【答案】 【分析】利用构造函数，再使用函数的单调性、奇偶性即可.【解析】设，则∵x＞0时，∴当x＞0时，，故在（0，+∞）单增又，所以∵是偶函数∴也是偶函数，且在（－∞，0）单减等价于，即由是偶函数且在（0，+∞）单增得，解之得.例2已知定义域为的函数的导函数为，且，若（2），则函数的零点个数为  A．1B．2C．3D．4【答案】【分析】由的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出的解析式.【解析】由，可得，则，即，设，，又（2），所以，所以，所以， 所以，，令，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，则对于，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，当时，，当时，，所以函数的零点个数为2．故选：．点评：作为选择题，求出后，欲判断零点个数，直接分离函数转化为与交点的个数，则秒杀！例3函数的定义域为，，对任意，，则的解集为.【答案】（，+）【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中，只需构造函数，使得，不难得到（这里为常数，本题中取），进而利用的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数，则，故单调递增，且. 另一方面所求不等式，就转化为，逆用单调性定义易知，则不等式的解集为.例4设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f()>·f()的解集为________．【答案】 [1,2)【解析】设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．又>0，∴由f()>f()可变形得f()>f()，即F()>F()，∴解得1≤x1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______．9.已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是．10.设奇函数f(x)定义在(－p，0)∪(0，p)上其导函数为f¢(x)，且f()＝0，当0＜x＜p时，f¢(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f()sinx的解集为．11.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为___________. 【答案与提示】1.【答案】【分析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．【解答】令，，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即．故正确；，从而有即．故正确．故选：．2.【答案】B【解析】令，则，在时单调递增，又（1）（1），时，，时，， 当时，，，，时，，，，在上恒成立，又是奇函数，，在上恒成立，①当时，，，即，②当时，，，即，由①②得不等式的解集是，，，故选：．3.【答案】C【解析】函数是定义在上的连续函数，，令，则，为常数），函数是连续函数，且在处存在导数，，，，，，，令，则，令，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，当时，，，使， 又，函数在的两个零点，分别为和0，当时，令，则，当时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减，在上有极小值，无极大值．故选：．4.【答案】D【解析】构造函数，于是该函数递减，变形为，于是，得，选D.5.【答案】A【解析】构造函数，当时，，即函数单调递增，则，，则，即，选A．6.【答案】A【解析】由得，构造函数，则，故单调递增，有．故选A．7.【答案】B 【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.因为,所以即.答案选B．8.【答案】 (0，＋∞)【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.9.【答案】10.【答案】(－，0)∪(，p)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道()¢＝，(sinx)¢＝cosx，于是本题的本质是构造来解不等式【解析】设g(x)=，则g¢(x)=()¢＝，所以当0＜x＜p时，g¢(x)