(通用版)高考数学选填考点压轴题型22《三点共线充要条件的应用》(含答案详解)

题型22三点共线充要条件的应用【方法点拨】在平面内,是不共线向量,设，P、A、B三点共线说明：1.上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”,利用此结论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值.2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是“1”时，应化“1”.3.遇到条件“两条线段相交于一点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．【典型题示例】例1在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】0或.【分析】条件中向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1，应先变形为系数和是1的情形，求出.继而，在直接利用余弦定理或直接利用是等腰三角形求出其底边.【解析】可化为当，且时∵三点共线∴，故，， 在，，.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.例2在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（）A．9B．10C．11D．12【答案】D【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出m、n间的等量关系，再使用基本不等式求解.【解析】因为，所以又因为B、P、E三点共线所以m＋3n=1所以，当且仅当时，“=”成立所以的最小值是12． 例3已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为_______.【答案】【分析】凑系数使其代数和为1，，取、，即，而可得M、E、F三点共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），，所以的最小值为.例4在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为.【答案】【分析】设，则 如图，延长至，使为求的取值范围，只需求点的轨迹.遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设中，，，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆∴，即的取值范围为.点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；（2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”；（3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？例5若是锐角的外心，，，，，则.【答案】【分析】由得，将变形为.如图，作，，则三点共线，且. 在，，，故.OACBDE例6已知中，,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是.【答案】【解析】由条件，设，则，其系数和为1设，则，故三点共线由的最小值为，即点到的距离是故中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而. ∴的最小值是. 【巩固练习】1.如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则.2.如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（）3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为.4.在平面直角坐标系中，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为．5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______.6.在四边形中，.若，则． 7.在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(  )A.＋B.＋C.＋D.＋8.在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．9.在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（）A．1B．2C．D．10.已知点是的外心，且，，若，则的值为. 【答案与提示】1.【答案】【解析】因为是的中点所以，即因为三点共线，所以，.2.【答案】A【分析】从三点共线入手，将用线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.【解析】∵三点共线∴（其中）又，所以所以，解之得，选A.3.【答案】【解析】根据题意，，∴的终点在线段BC上，∴，∴，∴；又O是MN的中点，∴，∴， ∴，∴的最小值是．4.【答案】【简析】设，则，如图，，设则，由勾股定理得，故．5.【答案】【分析】由可得在线段上，故，而，有基本不等式立得. 【解析】由，得，因为，所以在线段上所以，又因为，则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）．故的最小值是．6.【答案】－16【解析】由中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”设E为上一点，且，则所以，则四边形是平行四边形，所以.7.【答案】 A【解析】 如图，设＝λ(λ>0)，又＝＋＝＋， ∴＝λ＋λ＝λ＋λ.又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，∴λ＝，∴＝＋.8.【答案】 【解析】 由D为BC的中点知，＝＋，又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点，故＝＝＋，∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．∴4x＋y的最小值为.9.【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.【解析】 因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，则，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则有,解可得或(舍），故，故选：B.10.【答案】【提示】解法同例5.