(通用版)高考数学选填考点压轴题型15《跨阶同构》(含答案详解)

题型15跨阶同构【方法点拨】跨阶同构的几个关键环节:1.指对各一边，参数是关键，凑形是难点.2.凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式:（1）与型：，；（2）与型：，.【典型题示例】例1已知函数，若，则的取值范围是.【解析】由移项得：（说明：将变量移至一边的原则进行变形）即，两边同时加（x－1）得（说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形）即设，则，所以单增所以，即设，则，所以在单减，在单增，所以，所以.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．例2设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是． 【解法一】由得，即对任意的恒成立．设，则恒成立，又，∴当时，单调递减；当时，单调递增．画出图象为①当时，，此时函数单调递增，∴，即，所以恒成立，∴恒成立．则当时，单调递增；当时，单调递减，∴，∴． ②当时，，由，结合函数的图象可得，即恒成立．综上可得，∴实数的取值范围是．【解析二】由得，即对任意的恒成立．当时，总有，.只需考虑的情形，亦即.设(>0)，则，上为增函数.由得，，即，故，∴．【解析三】由得，，即对任意的恒成立．当时，总有，. 只需考虑的情形，亦即.设(>1)，则，上为增函数.由得，，即，故，∴．【解析四】由得，，即对任意的恒成立．当时，总有，.只需考虑的情形，得.设(>1)，则，上为增函数.由得，，即，故，∴．例3对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是. 【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边）两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）设，则，单增故由（#）得，再令，则，易知当所以，即.【解析二】将变形为，即设，易知单增故（以下同解法一，从略）.点评：（1）为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：，.1.；.2.；.3.；.4.；.有时也需要对两边同时加、乘某式等.（2）与为常见同构式：，；与为常见同构式：，. 【巩固训练】1.设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．2.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）3．已知函数，（其中a为参数），若对任意x(0，)，不等式成立，则正实数a的取值范围是．4.对于任意实数，不等式恒成立，则的最大值是_____.5.关于的不等式对任意（其中）恒成立，则的取值范围是_____.6.关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_____.7.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案与提示】1.【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：D. 2.【提示】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.3．【解析】（构建同构式处理不等式）由得，即，两边同时加得令,则，∵为单调增函数∴，即，令,则∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，解得．4.【答案】e【提示】变形为.5.【答案】【提示】变形为.6.【答案】【提示】变形为，利用.7.【答案】【解析】转化为， 即，设，则恒成立，又，单调递增所以，，易求得∴实数的取值范围是．