(通用版)高考数学选填考点压轴题型12《双元类不等式能成立、恒成立问题》(含答案详解)

题型12双元类不等式能成立、恒成立问题【方法点拨】1.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max；∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2)成立,则f(x)min>g(x)min；∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2)成立,则f(x)max>g(x)min.记忆方法：都任意，大小小大（即对于两个变量都是“任意”的，不等式中较大者的最小值大于不等式中较小者的最大值），存在换任意，大小应互换.2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元，逐一处理”的策略，即选择主次元的方法，一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量（所谓”独立变量”是指与所求参数无关的变量），再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法.【典型题示例】例1已知函数，若对，总，使得，则实数的取值范围是.【答案】【分析】即.当时，，故只需，所以即对恒成立，分参得，令，，，故；当时，，故只需，所以，且，即对恒成立，分参得，令，，，故；综上，实数的取值范围. 例2已知函数，若对任意，都存在使成立，则实数b的取值范围是.【解析】由条件可知因为，且、在[1，2]上单调递增所以函数在[1，2]上单调递增，，所以，即在恒成立，即在恒成立，记，易证在[1,2]上单调递增，所以，，从而只需，即.点评：为避免求函数最小值时的含参讨论，逆向转化为在上恒成立，再利用分离参数求解.此种处理手段太重要，意味深长！！例3已知函数，，若(0，)，[﹣1，0]，使得成立，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】双变量问题，逐一突破，这里先处理不含参部分由题意得，，，当时，，令，则，，即在上为减函数，故所以， 所以恒成立，即恒成立，又，当且仅当时取等号，所以实数的取值范围为．点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，不等关系转化为最值的关系.例4若对任意，存在，使不等式成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析一】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式在上恒成立，所以，即，存在，使不等式成立，再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，设，则只需或，即或，所以实数的取值范围为.【解析二】先视为以“”为主元的二次不等式的恒成立，即不等式在上恒成立，所以，即，存在，使不等式成立，再视为以“”为元的二次不等式的存在性问题，即能成立，即在能成立分离变量得设，则在区间上单增，所以，故，即 所以实数的取值范围为.点评：1．二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想；2．解法二用到了“分离参数”构造函数的方法，一般来说，求参变量范围问题，应尽量做到“能分则分”，以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.例5设a>0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－lnx＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________．【答案】【分析】问题可转化为f(x)min≥g(x)min，函数g(x)不含参，易求得g(x)min＝g(1)＝5，接下来的思路有二，一是直接分类讨论求f(x)min，二是将f(x)min≥g(x)mi转化为f(x)＝x＋≥5恒成立，通过分离参数再解决【解析】问题可转化为f(x)min≥g(x)min.当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝5.思路一：又f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，易知x＝a是函数f(x)的极小值．当a≤1时，f(x)min＝1＋a2，则1＋a2≥5，不成立；当1e时，f(x)min＝f(e)＝e＋≥5显然成立，得a2>5e－e2，所以a>e.综上所述，实数a的取值范围为.思路二：故有f(x)min≥5，即f(x)＝x＋≥5恒成立，分离参数得a2≥x（5－x），易得[x（5－x）]max=，又a>0，故a≥所以实数a的取值范围为．例6已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a>0，x≠0.(1)对任意的x∈[1,2]，都有f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 【解析】由题意知，f(x)－g(x)>0对x∈[1,2]恒成立，即x2－2ax＋1－>0对x∈[1,2]恒成立，即a0，故φ(x)在x∈[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝，所以a的取值范围是.(2)对任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．【解析】由题意知x2－2ax＋1>min＝，即a0对x∈[1,2]恒成立，则φ(x)在[1,2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝，所以a的取值范围是.点评：防止误将∀x∈D，均有f(x)>g(x)恒成立，转化为f(x)min>g(x)max，一般应作差构造函数F(x)=f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0恒成立. 【巩固训练】1．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．3.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．4.函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对∀x1∈[－1,5]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________．5.已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．6.已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2)，则实数a的取值范围是.7.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．8.若对于，不等式都成立，则的取值范围是_________.9.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是_________.10.关于的一元二次方程有两个根，且满足，则实数的值是（）.A．－2；B．－3；C．－4；D．－5. 【答案与提示】1．【答案】(－∞，0)【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得mg(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=－a，由f(x)max>g(x)min得：4＞－a，故a＞－4即为所求. 点评：理解量词的含义，将原不等式转化为[f(x)]max≤[g(x)]max；利用函数的单调性，求f(x)与g(x)的最大值，得关于a的不等式求得a的取值范围．8.【答案】9.【答案】【解析】对不等式分离参数得：设（），则令，则函数在区间单减，故，所以，即实数的取值范围是.10.【答案】BC【解析】将方程分离参数得：设，如图，则，所以，选BC.