(通用版)高考数学选填考点压轴题型31《对数单身狗、指数找朋友》(含答案详解)

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时间：2022-09-03

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题型31对数单身狗、指数找朋友【方法点拨】对数单身狗，指数找朋友：①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”.由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.【典型题示例】例1已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，则a的取值范围是.【答案】【分析】遇到f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x)，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)]，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.【解析】等价于.设函数，则 .（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.（ii）若0

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