(通用版)高考数学选填考点压轴题型9《三次函数的对称性、穿根法作图象》(含答案详解)

题型9三次函数的对称性、穿根法作图象【方法点拨】对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（其中a≠0），给出以下常用结论：(1)当a＞0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为N字型；当a＜0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为反N字型；当a＞0，b2－3ac≤0时，单调递增，当a＜0，b2－3ac≤0时，单调递减．(2)三次函数有对称中心(x0，f(x0))，f″(x0)＝0.【典型题示例】2例1(2021·全国乙卷·理10)设a0，若xa为函数fxaxaxb的极大值点，则（）A.abB.abC.22abaD.aba【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.3【解析】若ab，则fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.fx有xa和xb两个不同零点，且在xa左右附近是不变号，在xb左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的.当a0时，由xb，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故2aba.当a0时，由xb时，fx0，画出fx的图象如下图所示： 由图可知ba，a0，故22aba.综上所述，aba成立.故选：D2例2若函数f(x)xxa在区间[0,2]上单调递增，则实数a的取值范围是．【答案】(,0][3,).（公众号：钻研数学）2x(xa),xa2【解析】f(x)xxa.2x(xa),xa函数f(x)的一个极值点是x0，所以以0为界与a比较，进行分类讨论.2a2①当a0时，如图一，由f(x)3x2ax0得，x0或x，欲使函数322af(x)xxa在区间[0,2]上单调递增，只需x2，即a3.32②当a0时，如图二，f(x)xxa在区间[0,2]上单调递增，满足题意.综上知，实数a的取值范围是(,0][3,)．yyaOxaxO（图二)（图一） 点评:作三次函数f(x)＝a(x－x1)2(x－x2)（其中a≠0，x1≠x2）示意图的方法要点有二：（1）当a＞0时，三次函数的图象为N字型（最右区间增）；当a＜0时，三次函数的图象为反N字型（最右区间减）.（2）x1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x轴相切（或称“奇穿偶回”，即x1、x2都是函数的零点，x1是二重根，图象到此不穿过x轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）.例3已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（）A.a0C.b0【答案】C【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设f(x)(xa)(xb)(x2ab)，欲满足题意，从形上看则必须在x≥0时有两个重合的零点才可以，对a分a0与a0两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【解析】因为ab0，所以a0且b≠0，设f(x)(xa)(xb)(x2ab)，则f(x)的零点为x1a,x2b,x32ab当a0时，则x2x3，x1>0，要使f(x)0，必有2aba，且b0，即ba，且b0，所以b0；当a0时，则x2x3，x10，要使f(x)0，必有b0.综上一定有b0.故选：C例4已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是.【答案】2【分析】本题的难点在于发现函数的对称性、变形为“结构相同”后逆用函数的单调性.【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f(x)＝x3－3x2＋5x－3，则f(a)＝－2，f(b)＝2.因为f(x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2. 【巩固训练】321.函数fxx3x5x1图象的对称中心为_____.32.已知直线l与曲线yxx1有三个不同的交点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，3且|AB||AC|，则xiyi__________.i1323.若函数f(x)2xax1(aR)在(0,)内有且只有一个零点，则f(x)在[1,1]上的最大值与最小值的和为．4.已知函数f(x)的导函数为f(x)ax(x2)(xa)(a0)，若函数f(x)在x2处取到极小值，则实数a的取值范围是．25.若函数f(x)(x2)xa在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值范围是．6.设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝______________．27.已知函数f(x)xx3，x0,m，其中mR，且m0，如果函数f(x)的值域是0,2，则实数m的取值范围为________.28.已知aR,函数f(x)xxa，则函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值是.229.已知函数f(x)xx12的定义域是[0,m]，值域是[0,am]，则实数a的取值范围是. 【答案与提示】1.【答案】1,2【解析一】由题意设对称中心的坐标为a,b，则有2bfaxfax对任意xR均成立，代入函数解析式得，32322bax3ax5ax1ax3ax5ax1整理得到：32322bax3ax5ax1ax3ax5ax1，232整理得到2b6a6x2a6a10a20对任意xR均成立，6a60所以32，所以a1，b2.2a6a10a22b即对称中心1,2．【解析二】∵f″(x)＝6x－6令f″(x)＝6x－6＝0解得x＝1将x＝1代入得f(x)得f(1)＝2∴对称中心1,2．2.【答案】333【解析】由题意，函数yxx是奇函数，则函数yxx的图象关于原点对称，3所以函数yxx1的函数图象关于点(0,1)对称，3因为直线l与曲线yxx1有三个不同的交点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，且|AB||AC|，所以点A为函数的对称点，即A(0,1)，且B,C两点关于点A(0,1)对称，3所以x1x2x30,y1y2y33，于是xiyi3.i13.【答案】3211【解析】因为f(0)1,且由f(x)6x2ax=6x(xa)0得:x0或xa33 1所以函数f(x)的图象是增-减-增型，且在x0或xa处取得极值3aa3a2f()2()a()10333欲使函数在(0,)内有且只有一个零点，当且仅当a03解之得a3.当x1,0时，f(x)增；x0,1时，f(x)减，故f(x)maxf(0)1，f(x)minminf(1),f(1)4，所以f(x)在[1,1]上的最大值与最小值的和为3．4.【答案】,20,5.【答案】(,2][5,)36.【答案】a27.【答案】1m21a,当a1时;0,当1a2时;78.【答案】m4(a2),当2a时;37a1,当a时;3【解析】设此最小值为m.32①当a1时，在区间[1，2]上，f(x)xax./2因为:f(x)3x22ax3x(xa)0,x(1,2),3则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..2②当12时，在区间[1，2]上，f(x)axx.f(x)2ax3x3x(ax).3 若a3,在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，由此得：m=f(1)=a-1.2若2