(通用版)高考数学选填考点压轴题型1《单调性的几个等价命题》(含答案详解)

题型1单调性的几个等价命题【方法点拨】1.函数f(x)为定义域在D上的增函数对任意x1,x2D，当x1x2时,都有f(x)f(x)120；xx122.对任意x1,x2D，当x1x2时,都有f(x1)f(x2)f(x1)kx1f(x2)kx2k0函数f(x)－kx为D上的增x1x2x1x2函数说明：含有地位同等的两个变量x1,x2或,等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.【典型题示例】例1（2021·江苏镇江八校·12联考）已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,1)点，对f(x)f(x)12任意x1,x2R，当x1x2时,都有1，则不等式xx12xxf[ln(e1)]1ln(e1))的解集为()A.(In2,+∞)B.(-∞,ln2)C.(In2,1)D.(0,ln2)【答案】Df(x)f(x)12【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将1化为xx12f(x1)x1f(x2)x20xx12令F(x)f(x)x，故F(x)在R上单增，且F(0)f(0)01xxxxf[ln(e1)]1ln(e1)可化为f[ln(e1)]ln(e1)1xxx即F[ln(e1)]F(0)，所以ln(e1)0，0e11，解之得1xln2xx所以不等式f[ln(e1)]1ln(e1))的解集为(0,ln2). 点评：f(x)f(x)121.f(x)在D单增（减）对任意x1,x2D，当x1x2时，都有0(0)；xx12f(x)f(x)122.结构联想，当题目中出现a，应移项通分转化为xx12f(x1)ax1f(x2)ax20，即F(x)=f(x)－ax在D单增.xx122例2(2021·江苏南通如皋一抽测·22改编)已知函数f(x)lnxx3x，对于任意mx1x2x,x[1,10]，当xx时，不等式f(x)f(x)恒成立，则实数m的取121212xx12值范围是________.【答案】(,1710]【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.mx2x1mm【解析】不等式fx1fx2可变形为fx1fx2，xxxx1212mm即fx1fx2，当x1,x2[1,10]，且x1x2恒成立，xx12m所以函数yf(x)在[1,10]上单调递减.xm2m令h(x)f(x)lnxx3x,x[1,10]xx1m则h(x)2x30在x[1,10]上恒成立，2xx32即m2x3xx在x[1,10]上恒成立.232211设F(x)2x3xx，则F(x)6x6x16x.22因为当x[1,10]时，F(x)0，所以函数F(x)在[1,10]上单调递减，32所以F(x)F(10)210310101710，min 所以m1710，即实数m的取值范围为(,1710].例3（2021·江苏南通如皋期末·12）已知fx是定义在R上的奇函数，对任意两个不xfxxfxf0.23fsin12112相等的正数x1，x2，都有0，记a，b，x2x10.23sin11fln3，则a，b，c的大小关系为cln3A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】Dfx【解析】构造函数g(x)，则因为fx是定义在R上的奇函数，故g(x)为定义域x是x|x0的偶函数x2fx1x1fx2又对任意两个不相等的正数x1,x2都有0，即xx21fx1fx2x1x2gx1gx2，故g(x)在0,上为减函数.00xxxx1212综上,g(x)为偶函数,且在,0上单调递增,在0,上单调递减.3f0.2fsin1又ag(0.23)，bg(sin1)，3sin10.21fln3fln3fln33，且00.2sin1ln3cgln3ln3ln3ln33所以g(0.2)g(sin1)g(ln3)，即abc,故答案为：D.【巩固训练】logax,0x1fx1fx21.已知函数f(x)满足对任意x1x2，都有0成(4a1)x2a,x1xx12 立，则实数a的取值范围是（）111A．0，B．0，C．0，D．1，664exfxfx2xx时，不等式1202.已知函数f(x)ax,x(0,)，当21恒成立，xx2x1则实数a的取值范围为（）22eeeeA．,B．,C．,D．,121222x1lnx2－x2lnx13.若对∀x1，x2∈(m，＋∞)，且x1