(通用版)高考数学选填考点压轴题型7《指数型函数的单调性、对称性》(含答案详解)

题型7指数型函数的单调性、对称性【方法点拨】nmn1.指数复合型函数f(x)(a0且a1,mn0)的对称中心为(log,).xaam2m记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.x212.函数f(x)的性质如下：x21（1）定义域是R；（2）值域是（－1,1）；（3）在（－∞，+∞）单增；（4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.x21说明：形如f(x)的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考x211x121察的载体，通过变形（部分分式），可得到f(x)、f(x)f(x)等.xxx212121 【典型例题】2例1已知函数f(x)2x，则满足不等式f(a)f(3a2)2的实数a的取值x31范围是.1【答案】,22【解析】y的对称中心是(0,1)，其定义域为R且单减x312令g(x)f(x)12x1，则g(x)为R上的单调递减的奇函数x31由f(a)f(3a2)2得f(3a2)11f(a)即g(3a2)g(a)因为g(x)为奇函数，故g(a)g(a)所以g(3a2)g(a)1又g(x)在R上单减，所以3a2a，解之得a21所以实数a的取值范围是,.2x120202019例2已知a0，设函数f(x)，xa,a的最大值、最小值分别为x20201M、N，则M+N的值为.【答案】4039【分析】研究函数的对称性，利用函数g(x)f(x)a（其中f(x)是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为2a.x1x1202020192020202011【解析】f(x)=2020xxx2020120201202011设g(x)f(x)2020x20201 11则g(x)g(x)()1xx20201202011所以g(x)的图象关于点(0,)对称24039所以f(x)的图象关于点(0,)对称2故M+N的值为4039.1x2例3已知函数f(x)log1（a1）是奇函数，设函数g(x)f(x)，1+axx321x1,1,若g(m)g(n)，其中m,n1,1，试比较m,n的大小.【答案】mn.【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可.1x2【解析】易得a1，故g(x)log1x，x1,1，下面考察函数的单调性.1x2131x21x21x对于1在1,1单增，由复合函数单调性得log1在1x1xx131x1,1单减；211211对于，设2xt(,)），在t(,)单减，由复合函数单调性得xt（2122t1222在1,1单减，x211x2再由函数单调性得性质得g(x)log1x，在x1,1单减，1x213因为g(m)g(n)，m,n1,1，所以mn. 【巩固练习】11.已知函数f(x)a的图象关于坐标原点对称，则实数a的值为_____.x21x312.已知函数f(x)2x，则满足不等式f(a)f(3a2)0的实数a的取值范围x31是.x123100043.已知f(x)，则ffff的值为．x421001100110011001x124.已知函数f(x)2x在区间[－k,k]上的值域为[m,n]，则m＋n=________．x21x25.已知函数f(x)a是定义域为R的奇函数,当x[3,9]时，不等式x212f(logx)f(2mlogx)0恒成立，则实数m的取值范围是.33 【答案与提示】1.【答案】－1【提示】由f(1)f(1)0立得.12.【答案】2xx313122【提示】f(x)2x2x12x的对称中心是(0,0)，其定义xxx313131域为R且单增.3.【答案】500【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若0a1，尝试去求f(a)f(1a)的值，易得f(a)f(1a)1.x422【思路二】主动发现函数的对称性，f(x)1，设g(x)，则其对称xxx4242421111中心为,，则f(x)的对称中心也为,，故f(x)f(1x)1.22224.【答案】2xx2121【提示】f(x)2x1，g(x)2x奇，单增.xx21215.【答案】3,.【解析】∵函数是定义域为R的奇函数，021∴f0a0，解得a.021211经检验，当a时，函数fx为奇函数，即所求实数a的值为.2212x112x2设x1,x2R且x1x2，则fx1fx2xx221122212x22x112x12x212x22x1，x1x22x112x212121 ∵xx，∴x2x12x112x210，12220，∴fx1fx20，即fx1fx2，所以fx是R上的减函数.22由flog3xf2mlog3x0，可得flog3xf2mlog3x.2∵fx是R上的奇函数，∴flog3xfmlog3x2，又fx是R上的减函数，2所以logxmlogx20对x3,9恒成立，33令tlog3x，∵x3,9，∴t1,2，∴2tmt20对t1,2恒成立，思路一：（转化为二次函数区间上的最大值≤0）2令gttmt2，t1,2，该函数开口朝上，故t=1或t=2取得最大值g13m0∴，解得m3，所以实数m的取值范围为3,.g262m02思路二：（分离变量）即mt对t1,2恒成立，t2设g(t)t，则g(t)在区间1,2上单减，在区间2,2上单增t所以g(t)maxmaxg(1),g(2)3所以m3，故实数m的取值范围为3,.