培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________．【答案】【解析】，其中，只需要．令，，，，在单调递减，在单调递减，，．2．数形结合法例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图像，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得
，观察图像进一步可得只需时，，即，所以．3．最值分析法例3：已知函数，在区间上，恒成立，求的取值范围___________．【答案】【解析】恒成立即不等式恒成立，令，只需即可，，，令（分析的单调性）当时在单调递减，则(思考：为什么以作为分界点讨论？因为找到，若要不等式成立，那么一定从处起要增（不一定在上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以时导致在处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当时，分是否在中讨论（最小值点的选取）若，单调性如表所示，．（1）可以比较，的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在，处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于，并不在中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若，则在上单调递增，，符合题意，综上所述：．
对点增分集训一、选择题1．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若，即有，分别作出函数和直线的图象，由直线与曲线相切于原点时，，则，解得，由直线绕着原点从轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有，解得．故选B．2．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：，令可得：，，且：，，，，据此可知函数在区间上的最小值为，结合恒成立的条件可得：，
求解关于的不等式可得实数的取值范围是．本题选择C选项．3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，在内恒成立，所以，由于，所以，，所以，故选D．4．已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．∴，∴，∴．故实数的取值范围是．故选A．5．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．【答案】D【解析】若恒成立，则，，所以在单调递减，在单调递增．，，所以．故选D．6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】时，恒成立不等式等价于，，设，，，在单调递减，在单调递增，，当时，可知无论为何值，不等式均成立，当时，恒成立不等式等价于，，同理设，，在单调递增，，，综上所述：．故选C．7．函数，若存在使得成立，则实数的范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若存在使得成立，则在内即可，，，
故在上单调递减，，故选A．8．设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域是，，当时，，则在上单调递增，且，故存在，使；当时，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，解得．综上，的取值范围是．故选D．9．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，恒成立，若，为任意实数，恒成立，若时，恒成立，即当时，恒成立，设，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，
当时，取得最大值为．则要使时，恒成立，的取值范围是，故选D．10．已知函数，，若对任意，总有或成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，故对时，不成立，从而对任意，恒成立，因为，对任意恒成立，如图所示，则必有，计算得出．故选B．11．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式，即，结合可得恒成立，即恒成立，
构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为．本题选择D选项．12．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则，∴当，，单调递减；当，，单调递增，∴当时，取得最小值．如下图所示．又，故；，故．故当时，满足在直线的下方．∵直线恒过定点且斜率为，∴要使得有且只有一个整数使得
，只需，∴，又，∴实数的取值范围．故选C．二、填空题13．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】法一：如图，因为恒成立，则的图像在的上方（可以有公共点），所以即，填．法2：由题设有．当时，；当时，有恒成立或恒成立，故或即，填．14．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】对任意正数都有，即不等式对于恒成立．设，则．故在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值是，所以的取值范围是．15．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以恒成立，即在上恒成立，所以，故实数的取值范围是．16．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】①当时，函数外层单调递减，内层二次函数：当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，，解得；当，即时，无意义；当，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需，，无解；当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，
，无解．②当时，函数外层单调递增，，二次函数单调递增，函数单调递增，所以，解得：．综上所述：或．三、解答题17．设函数，其中，（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），定义域为，，设，当时，，，函数在为增函数，无极值点．当时，，若时，，，函数在为增函数，无极值点．若时，设的两个不相等的实数根，，且，且，而，则，所以当，，，单调递增；当，，，单调递减；当，，，单调递增．
因此此时函数有两个极值点；当时，但，，所以当，，，单调递增；当，，，单调递减．所以函数只有一个极值点．综上可知，当时有一个极值点；当时的无极值点；当时，的有两个极值点．（2）由（1）可知当时在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，，在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，，于是，当时，此时，不符合题意．综上所述，的取值范围是．18．设函数，（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，，都有，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】，注意到，于是再求导得，，
由于，于是为单调递增函数，时，，时，，在单调递减，在单调递增．（2）若不等式恒成立，则，在连续，在有最大最小值，，由（1）可知在单调递减，在单调递增，，，，设，，在单调递减，在单调递增，，故当时，，当时，，，则上式成立．当时，由的单调性，，即，当时，，即，综上，的取值范围为．
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