培优点十八离心率1.离心率的值例1:设,分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段的中点在轴上,若,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】本题存在焦点三角形,由线段的中点在轴上,为中点可得轴,从而,又因为,则直角三角形中,,且,,所以,故选A.2.离心率的取值范围例2:已知是双曲线的左焦点,是该双曲线的右顶点,过点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,若是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B【解析】从图中可观察到若为锐角三角形,只需要为锐角.由对称性可得只需即可.且,均可用,,表示,是通径的一半,得:,,所以
,即,故选B.对点增分集训一、单选题1.若双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点,代入,可得:,即,,故选D.2.倾斜角为的直线经过椭圆右焦点,与椭圆交于、两点,且,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】设直线的参数方程为,代入椭圆方程并化简得,所以,,由于,即,代入上述韦达定理,化简得,即,.故选A.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线,的左、右焦点,是该双曲线右支上的一点,若,分别是的“勾”“股”,且
,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.【答案】D【解析】由双曲线的定义得,所以,即,由题意得,所以,又,所以,解得,从而离心率,故选D.4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同,它们交于,两点,且直线过点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.2【答案】C【解析】设双曲线的左焦点坐标为,由题意可得:,,则,,即,,又:,,据此有:,即,则双曲线的离心率:.本题选择C选项.5.已知点在椭圆上,若点为椭圆的右顶点,且(为坐标原点),则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,所以点在以为直径的圆上,圆心为,半径为,所以圆的方程为:,与椭圆方程联立得:
,此方程在区间上有解,由于为此方程的一个根,且另一根在此区间内,所以对称轴要介于与之间,所以,结合,解得,根据离心率公式可得.故选C.6.已知椭圆,点,是长轴的两个端点,若椭圆上存在点,使得,则该椭圆的离心率的最小值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设为椭圆短轴一端点,则由题意得,即,因为,所以,,,,,,故选C.7.已知双曲线的左,右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为()A.B.C.2D.【答案】B【解析】由双曲线的定义知①;又,②联立①②解得,,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,当时,解得,即的最大值为,故选B.解法二:由双曲线的定义知①,又,②,联立①②解得,,因为点在右支所以,即故,即
的最大值为,故选B.8.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,为坐标原点,若,且,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由椭圆的定义可得,,又,可得,即为椭圆的短轴的端点,,且,即有,即为,.故选D.9.若直线与双曲线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为,由双曲线与直线有交点,则有,即有,则双曲线的离心率的取值范围为,故选D.10.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知,是一对相关曲线的焦点,,分别是椭圆和双曲线的离心率,若为它们在第一象限的交点,,则双曲线的离心率()A.B.2C.D.3【答案】C【解析】设,,椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,可得,,可得,,
由余弦定理可得,即有,由离心率公式可得,,即有,解得,故选C.11.又到了大家最喜(tao)爱(yan)的圆锥曲线了.已知直线与椭圆交于、两点,与圆交于、两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】直线,即,直线恒过定点,直线过圆的圆心,,,的圆心为、两点中点,设,,,上下相减可得:,化简可得,,,,故选C.12.已知点为双曲线右支上一点,点,分别为双曲线的左右焦点,点是的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有成立,则双曲线的离心率取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】
设的内切圆半径为,由双曲线的定义得,,,,,由题意得,故,故,又,所以,双曲线的离心率取值范围是,故选D.二、填空题13.已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个交点,若直线的斜率为,则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】如图所示,设双曲线的另外一个焦点为,由于的斜率为,所以,且,所以是等边三角形,所以,所以,,所以,所以,由双曲线的定义可知,所以双曲线的离心率为.14.已知双曲线,其左右焦点分别为,,若
是该双曲线右支上一点,满足,则离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】设点的横坐标为,∵,在双曲线右支上,根据双曲线的第二定义,可得,,,,,,,,故答案为.15.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线与椭圆交于,的两点,且轴,若为椭圆上异于,的动点且,则该椭圆的离心率为_______.【答案】【解析】根据题意,因为轴且,假设在第一象限,则,过作轴于,则易知,由得,所以,,所以,代入椭圆方程得,即,又,所以,所以椭圆离心率为.故答案为.16.在平面直角坐标系中,记椭圆的左右焦点分别为,,若该椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.【答案】【解析】椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,6
个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点,另外四个分别在第一、二、三、四象限,且上下对称左右对称,设在第一象限,,当时,,即,解得,又因为,所以,当时,,即且,解得:,综上或.三、解答题17.已知双曲线的的离心率为,则(1)求双曲线的渐进线方程.(2)当时,已知直线与双曲线交于不同的两点,,且线段的中点在圆上,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题意,得,,∴,即,∴所求双曲线的渐进线方程.(2)由(1)得当时,双曲线的方程为.设,两点的坐标分别为,,线段的中点为,由,得(判别式),∴,,∵点在圆上,∴,∴.
18.已知椭圆的左焦点为,离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知直线交椭圆于,两点.①若直线经过椭圆的左焦点,交轴于点,且满足,.求证:为定值;②若,求面积的取值范围.【答案】(1);(2)①见解析,②.【解析】(1)由题设知,,,所以,,,所以椭圆的标准方程为.(2)①由题设知直线斜率存在,设直线方程为,则.设,,直线代入椭圆得,所以,,由,知,,.②当直线,分别与坐标轴重合时,易知.当直线,斜率存在且不为0时,设,,
设,,直线代入椭圆得到,所以,,同理,,令,则,因为,所以,故,综上.