高考数学(理数)二轮专题培优练习11《数列求通项公式》 (教师版)

培优点十一数列求通项公式1.累加、累乘法例1：数列满足：，且，求．【答案】．【解析】，，，，累加可得：，．2．与的关系的应用例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．【答案】．【解析】∵当时，，，整理可得：，，为公差为2的等差数列，，，．3．构造法例3：数列中，，，求数列的通项公式．【答案】． 【解析】设即，对比，可得，，是公比为3的等比数列，，．对点增分集训一、单选题1．由，给出的数列的第34项是（）A．B．100C．D．【答案】A【解析】由，，则，，，，，，由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，∴，∴，故选A．2．数列满足，，则等于（）A．B．C．2D．3【答案】B【解析】时，，，，，∴数列的周期是3，∴．故选B．3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】递推关系中，令可得：，即恒成立，据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，其前项和为：．故选C．4．数列的前项和为，若，则的值为（）A．2B．3C．2017D．3033【答案】A【解析】，故选A．5．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵是递增数列，∴，∵恒成立，即，∴对于恒成立，而在时取得最大值，∴，故选D．6．在数列中，已知，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将等式两边取倒数得到，，是公差为的等差数列，，根据等差数列的通项公式的求法得到，故．故选B．7．已知数列的前项和，若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，．两式相减可得：，． 即，．数列是从第二项起的等比数列，公比为4，又，．∴，．∴．故选B．8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：，，∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选B．9．在数列中，若，，则的值（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，数列中，若，，则，∴，∴，故选A．10．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意时，，由，即，∴且，，，其中最小项为，，其中最大项为，因此．故选C．11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（）A．B．C．数列是等差数列D．数列是等比数列【答案】B【解析】数列数列满足，，当时，两式作商可得：，∴数列的奇数项，，，，成等比，偶数项，，，，成等比，对于A来说，，错误；对于B来说，，正确；对于C来说，数列是等比数列，错误；对于D来说，数列不是等比数列，错误，故选B． 12．已知数列满足：，．设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵数满足：，．，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为2，∴，，∵，且数列是单调递增数列，∴，∴，解得，由，可得，对于任意的恒成立，，故答案为．故选B．二、填空题13．已知数列的前项和为，且，则___________．【答案】【解析】数列的前项和为，且，，两式想减得到．此时，检验当时，符合题意，故．故答案为．14．数列中，若，，则______．【答案】【解析】∵，，则，∴．故答案为． 15．设数列满足，，___________．【答案】【解析】∵，，∴，，累加可得，∵，，∴．故答案为．16．已知数列满足，，则_______．【答案】【解析】令，则，由题意可得，即，整理可得，令，则，由题意可得，且，，故，即，，，，据此可知．三、解答题17．已知各项均为正数的数列的前项和为，且．（1）求；（2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意得，两式作差得，又数列各项均为正数，∴，即，当时，有，得，则，故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴．（2），∴．18．在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）的两边同时除以，得，∴数列是首项为4，公差为2的等差数列（2）由（1），得，∴，故，∴．