高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习18《平面向量的数量积及应用》 (教师版)

刷题增分练18 平面向量的数量积及应用刷题增分练⑲小题基础练提分快一、选择题1．给出下列命题：①＋＝0；②0·＝0；③若a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正确命题的个数是(  )A．1B．2C．3D．4答案：A解析：①∵＝－，∴＋＝－＋＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴该命题错误；④当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A.2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝(  )A.B.C.D.答案：A解析：设出c的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0， ①又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0. ②联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝.故选A. 3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(  )A．4B．3C．2D．0答案：B解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.4．已知平面向量a＝(2,1)，b＝(m，－2)，且a⊥b，则|a－b|＝(  )A.B．5C.D．10答案：C解析：∵a⊥b，∴a·b＝(2,1)·(m，－2)＝2m－2＝0，∴m＝1，∴b＝(1，－2)，∴a－b＝(1,3)，则|a－b|＝＝，故选C.5．在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则·＝(  )A．5B．－5C．－D．－答案：B解析：设菱形ABCD的对角线交于点M，则＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－2＝－5.6．已知平面向量a＝(－2，x)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数x的值为(  )A．－2B．2C．4D．6答案：B解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，x－)·(1，)＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故选B.7．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(  ) A．－B．－3C.D．3答案：C解析：因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.8．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为(  )A.B.C.D.答案：D解析：不妨设|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝，又|a|＝1，|2a－b|＝＝＝，所以a与2a－b夹角的余弦值为＝＝.二、非选择题9．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.答案：4解析：∵|2a＋b|＝2，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.10．已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.答案：2解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为 ，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________.答案：－解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝－.12．已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2.若平面向量m满足m·a＝m·b＝1，则|m|＝________.答案：解析：如图，设＝a，＝b，A(1,0)，B(－1，)．设m＝(x，y)，由m·a＝m·b＝1，得解得∴|m|＝＝.刷题课时增分练⑲综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(  )A.B．±C．±D．±答案：B解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb)·(a－λb)＝0，整理可得a2－λ2·b2＝0，即λ2＝＝＝，所以λ＝±，选B.2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(  )A．5B．4C．3D．2答案：A解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.3．已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(  )A．3B．－3C．2D．－2答案：B解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，∴cos〈m，n〉＝.又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故选B.4．已知在△ABC中，G为重心，记a＝，b＝，则＝(  )A.a－bB.a＋bC.a－bD.a＋b答案：A 解析：∵G为△ABC的重心，∴＝(＋)＝a＋b，∴＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.故选A.5．已知在等边三角形ABC中，BC＝3，＝2＝，则·＝(  )A．4B.C．5D.答案：D解析：根据题意，·＝＝·＋·＋·－2＝||·||cos＋·(－)－2＝＋2＝.故选D.6．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)．若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为(  )A．－1B．2C．1D．－2答案：A解析：根据题意，对于向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则|a＋b|2＝|a－b|2，变形可得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.又由向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.7．已知向量，的夹角为60°，||＝||＝2，若＝2＋，则△ABC为(  )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：根据题意，由＝2＋，可得－＝＝2，则||＝2||＝4，由＝－，可得||2＝|－|2＝2－2·＋OA2＝4，故||＝2，由＝－＝(2＋)－＝＋，得||2＝|＋|2＝2＋2·＋ 2＝12，可得||＝2.在△ABC中，由||＝4，||＝2，||＝2，可得||2＝||2＋||2，则△ABC为直角三角形．故选C.8．已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(  )A．1B.C.D.答案：D解析：解法一 ∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.解法二 ∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝，则a＋b＝.∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(t∈R)，∴a＋c＝，∴|a＋c|＝＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.二、非选择题9.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________. 答案：6解析：解法一 由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴·＝·(＋)＝·＋·＝|AB|·||cos45°＋||·||＝cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.解法二 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.10．平面向量a满足(a＋b)·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．答案：解析：∵(a＋b)·b＝7，∴a·b＋b2＝7，∴a·b＝7－4＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，·＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积S.解析：(1)因为2m·n＝2sincos－2cos2＝sinA－(cosA＋1)＝sin －1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m|＝sin＝，即sin＝.因为0