第三节匀变速直线运动的位移与时间的关系理解领悟本节课运用极限思想，用速度图象屮图线下面四边形的面积代表位移，导出了匀变速直线运动的位移公式，并进一步导出了匀变速直线运动的速度一位移关系式。要会应用匀变速直线运动的位移公式及速度一位移关系式分析和计算。基础级1.从速度图象求匀速直线运动的位移ABOCt图2-20匀速直线运动的速度不随吋间变化，所以其速度图象是平行于时间轴的直线。由匀速直线运动的位移公式X=vt结合速度图彖可知，匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与吋间轴Z间的面积（如图2-20中矩形OABC的面积）來表示。2.从速度图象求匀变速直线运动的位移对于匀变速直线运动，上述结论也成立吗？仔细研究教材“思考与讨论”栏忖中用纸带上各点的瞬时速度估算小车位移的方法，不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。OCt图2-21图2-21中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度图线。为了求出物体在时间/内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速肓线运动，而从一个时间间隔到下一•个时间I'可隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此它的速度图线由图2-21中的一些平行于吋间轴的间断线段组成。山于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间/内的位移，可用图2-21屮的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的血•积）来表示。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图彖，阶梯状折线打吋间轴Z间的面积就更接近于倾斜直线A3与吋间轴Z间的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜肓线A3,阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的而积来表示。运用类似的分析方法可以得出，上述结论不仅对匀变速直线运动适用，对一般的变速直线运动也是适用的。3・用极限思想分析问题在上一章中，我们用极限思想（无限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的时间间隔趋向于0,介绍了瞬时速度和瞬时加速度；木节课介绍速度图象屮图线与时间轴之间四边形的面积代表匀变速直线运动的位移时，乂一次应用了极限思想。极限思想是一种常用的研究方法，教材渗透这样的思想，只要求我们对极限思想有初步的认识，并不耍求会计算极限。4.用公式表达匀变速直线运动位移与时间的关系市上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间/内的位移兀，可以川图2-21中梯形OABC的面积S表示。而S=*（OA+BC）xOC,把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成将V=V()+m代入，可得匀变速直线运动的位移公式12
X—HClto2图2-21屮梯形OABC的血•积S也可表示为矩J^AOCD的面积S】和三角形A3D的面积S?之和,即S二S1+S2,而111,5.=AOxOCfS2=-ADxBD=-ADxkAD=-kOC22222(式中k表示直线AB的斜率)，故17S=AOxOC+-kOC2.2把面积、各条线段及斜率k换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式12X—HClt02匀变速肓线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速度都是代数量，都带有符号。4.用公式表达匀变速直线运动位移与速度的关系由匀变速直线运动的速度公式和位移公式12v=v0+,x=v^t+—at消去吋间r,可得v2=2ax,这就是匀变速直线运动的速度一位移关系式。匀变速直线运动的速度一位移关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系，在不涉及时间或不需要求时间的情况下，用这个公式分析求解问题通常比较简便。与其他匀变速直线运动的规律一样，该式在应用吋也必须注意符号法则，当取初速度的方向为正方向时，加速度和位移也都带有符号。5.教材中例题的分析木节教材的例题研究的是汽车的加速过程，已知汽车—Glp/s2匸12s—va=9v=1运动的加速运动时间和位移，需求初速度，如图2-22今*罕所示。图小，若把%解释为汽车0〜x的位移，则解释为0〜r~0180—花的一段时间；若把%解释为汽车的位置，则解释为/时刻。图2一22本题町先由匀变速直线运动的位移公式x=v.t+~at2,得出心的表达式后再代入数值计算2出结果。7・两个物体加速度的比较教材在“比一比”栏目中提出：如果已知两个物体在相同时间内从静止开始做匀加速直线运动的位移之比，怎样根据运动学的规律由此求岀加速度之比？山匀变速直线运动的位移公式X-+丄GF,°2因巾=0,故有x=—at2f2兀2
8.对匀变速直线运动规律的再认识到目前为止，我们已经学习了涉及匀变速玄线运动规律的四个公式或关系式，它们是:匀变速直线运动的速度公式v=v()+at匀变速直线运动的位移公式兀=v.t^-at22匀变速肓•线运动的速度一位移关系式v2-=2ax由平均速度求位移的公式x=-(v0+v)t以上四个公式或关系式共涉及匀变速肓线运动的初速度巾、末速度八加速度°、时间f和位移兀五个物理量，每个式子涉及其小的四个物理量。四个公式或关系式小只有两个是独立的，即由任意两式可推出另外两式。而两个独立方程只能解出两个未知量，所以解题时需要三个已知条件才能求解。式中Vo>VsG和X均为矢量，应用时要规定正方向(通常将”0的方向规定为正方向)，并注意各物理量的正、负。顺便指岀，在心、v>a、f和x五个物理量中，匀变速肓线运动的速度公式涉及到除x外的四个，位移公式涉及到除卩外的四个，速度一位移关系式涉及到除矽卜的四个，由平均速度求位移的公式涉及到除。外的四个。那么，还应该有一个涉及到除必外的四个物理量的关系式，那就是x=vt--at2(请同学们白行证明)，不过此式并不常用。2发展级9.匀变速直线运动某段位移中间位置的速度我们知道，若匀变速直线运动的初速度为巾，末速度为卩，则某段时间中间时刻的速度为u中时=上土。那么，匀变速肓线运动某段位移中间位置的速度v中位又为多人呢？设该段位移为X,由匀变速直线运动的速度一位移关系式可得，在前、后两半段分別有22_X22_n"中位_vo=2a~fv_V中时由以上两式可解得V中位=10・关于初速度为0的匀加速直线运动因卩0=0,由公式x=—cit~»可得212x=—at,2这就是初速度为0的匀加速百线运动的位移公式。因巾=0,由关系式v2一Vo=2处，可得
v2=lax,这就是初速度为0的匀加速百线运动的速度一位移关系式。对于初速度为0的匀加速直线运动，除了上一节讲到的物休在时刻『、2t、3人……nt的速度之比V):V2:卩3::vn=l：2：3：*nZ外，还有如下的一些比例关系：因加速度G为定值，lllv2=2fa,可得VX長。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时,物体通过位移X、2兀、3兀、……必时的速度之比VI•"2•V3•:V2:V3:因加速度a为定值，由x=-at2可得xocr2o所以，在物体做初速度为0的匀加速直2线运动时，物体在时间r、2r、3『、……加内通过的位移之比X\・兀2・乳3・・x”=1・2・3・・no由上式可得X]:(x2—X\):(x3—%2)::(兀“一小门)=1：3：5：:(2n—l)o这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时的连续相等的时间内，物体通过的位移之比等于从1开始的连续奇数比，即xi:Xu:xm:……：顶=1：3：5：……：(2/?-l)o因加速度。为定值，由兀=丄可得/区低。所以，在物体做初速度为0的匀加速2直线运动时,物体通过位移兀、2x、3兀、处所需的时间之比:V/2o由上式可得/]::(“一?2)::(fn~f,：-!)=V1:(V2—Vf)；(V3—V2)：(得一J百)。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时起，通过连续相等的位移所需的时间之比g=V1:(V2—VT):(V3—V2)：：(Vzz—yjn—1)011.匀变速直线运动的位移图象本节教材“说一说”栏目要求画出匀变速直线运动x=v.t+-at22的位移图象的草图，运用初中数学中学到的二次函数知识，该草图如图2-23所示，图线为通过原点的抛物线的一部分。这是匀加速氏线运动的位移图象，抛物线的开口向上；当物体做匀减速直线运动时，抛物线的开口向下。对于“我们研究的是玄线运动，为什么画出来的位移图象不是肓线”
的疑问，可作如下解释：位移图象描述的是物体的位移与时间的关系，它并不表示物体运动的轨迹。12・利用光电计时器研究自由下落物体的运动教材“做一做”栏冃耍求利用光电计时器研究口由下落物体的运动。教材图2.3・4所示
的装置用于研究自由落体运动，与电脑计时器配合使用。首先调整立柱竖直，将立柱上的光电门、电磁铁的插I」与计时器连接。在计时器“测重力加速度”这一功能屮，在电磁铁断电的时刻开始计时。小球通过笫一个光电门时记录小球到达时间,小球到达笫二个光电门时记录小球到达时间/2,计时器先后显示这两次的时间值。这类仪器有4个光电门、2个光电门、1个光电门等儿种。立柱上有刻度，可读出对应时间小球的位移。画出LF图象，图线为曲线。再Iffli图象，图线为通过原点的倾斜直线。可见，物体自由下落时，位移与时间的平方成正比，即xx亡°应用链接本节课的应用主要是极限思想的渗透，以及匀变速直线运动的位移公式、速度一位移关系式、某段位移中间位置的速度公式和有关比例关系的分析与计算。基础级X例1物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为兀时的速度为卩，求位移为上时3的速度『为多大？提示物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变。本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度一位移关系式求解。V33解析由匀变速直线运动的速度一位移关系式V2-v}=2ax,Xvo=O,可得/=2ax,即VocVx,所以x得位移为送吋物体的速度3点悟本题也可先由V2=,求^a=—，再由/2=2tz-,求得vr=—v.显2x33然，采用比例法求解要简便一些。例2一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的人小为4m/s,后速度的人小变为10m/so在这Is内该物体的（）A.位移的大小可能小于4mB.位移的人小可能人于10mC.加速度的大小可能小于4m/s2D.加速度的大小可能人于10m/s2提示分成匀加速直线运动和匀减速直线运动两种情况讨论。解析对于匀变速直线运动，有选取初速度的方向为正方向，贝ho=4m/s,乂r=ls。若物体做匀加速直线运动，则v=10m/s,
4+102x1m=7m;10-4122m/s=6m/sU若物体做匀减速直线运动，则尸一10m/s,故4-102xlm=—3m;-10-4""1m/s2=—14m/s2即位移、加速度的大小分别为3m.14m/s2,负号表示它们的方向与初速度方向相反。可见，木题正确选项为A、Do点悟当物体的运动状态无法确认时，须根据可能情况分别加以讨论。要注意培养思维的广阔性，克服片面性。同时，要注意矢量的正负号仅表示方向，不表示人小。例3有一个做匀变速肓线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别为24m和64m,连续相等的时间为4s,求质点的初速度和加速度大小。提示由匀变速直线运动的位移公式求解。解析两段连续相等的时间F4s,通过的位移分别为xi=24nw2=64m。设质点运动的初速度为巾，加速度为对前一过程和整个过程分别应用匀变速直线运动的位移公式，可得1.1X\=”o/+—a广，x\+X2=v()X2/+-a(2/),2〜2山以上两式解得质点的加速度X护二彤舲2曲,质点的初速度=3¥|~=3X24-64^5=101/80°It2x4点悟在应用匀变速直线运动的规律解题时，要注意研究过程的选収，尽可能少设未知量。本题若分别对两段连续相等的时间应用位移公式，则将涉及屮间时刻的速度，须多设一个未知罐，从而多建立一个方程才能求解。本题也可直接由公式△尸得兀2一兀］解岀加速度G,然后再由位移公式得到初速度卩()。例4火车以54km/h的速度前进，现在需要在车站新停。如果停留时I'可是lmin,刹车引起的加速度大小是30cm/s2,启动吋发电机产生的加速度大小是50cm/s2,火车暂停后仍要以原速前进，求火车由于暂停所延迟的时间。提示火车由于暂停所延迟的时间等于具实际运行时间与预定运行时间之差。解析火车因暂停而减速的时间为v54/3.6…0.5054/3.6门=——=火车暂停后加速到原速所需的时间为=—==50soa.0.30火乍从开始减速到恢复原速所通过的路程为
VVVS=S}+S2=-t}+-t3=~(t}+『3),这段路程火车正常行驶所需的时间为所以，火车由于新停所延迟的吋间为△/二⑺+H+『3)—尸(30+60+50)s—40s=100s。点悟解答运动学问题,分析物体的运动过程是求解的关键。对于匀变速直线运动问题,一般的解题思路是：明确研究对象，建立运动途图景，规定坐标方向，列出运动方程。分析题意时，要弄清物理虽中哪些是未知的，哪些是已知的，然后根据匀变速直线运动的公式或关系式列出方程，正确求解。其中，加速度是解决一般问题的关键。发展级例5—物体由静止开始做直线运动，先以加速度©做匀加速肓线运动，接着又以人小为的加速度做匀减速直线运动直到停止。已知通过全程所经历的时间为/，求该物体的总位移。提示物体的总位移等于匀加速和匀减速两个运动阶段的位移之和。解析设物体在匀加速和匀减速两个运动阶段的位移分别为小、兀2,经历时间分别为八、r2o在匀加速运动阶段，因初速度为0,故冇坷山2；在匀减速直线运动阶段，因末速度为0,“倒过来”看就是初速度为0的匀加速运动，故有心=丄a2t}O因。山故儿a2“-rzna2ax=~—、乂「1+可得—t,t“—1ot2a}a}+a2〜a}+a2从而，该物体的总位移丫-丫Iy-1几5八2.1f⑷八2_a}a2t~x-x{+x2--a^1)1)-—。2。］+。22。］+。22(。］+。2)点悟木题中物体的运动涉及多个阶段，求解时要注意寻找各运动阶段Z间的联系，通常可从时间、位移、速度等方曲寻找联系。有关匀变速直线运动的问题，往往有多种解法。例如，本题也可以这样來解：设物体在匀加速运动阶段的末速度为「(这一速度也是物体在匀减速运动阶段的初速VV——+——%a2—V度)，则物体在全程内的平均速度v=—o因v二，乂v二a2t2，故t=t}+t2可得v=从而，该物体的总位移
图2-24a}+a222Q］+°22(d|+^2)例6两支完全相同的光滑直角弯管，如图2-24所示放置。现
有两只相同小球。和d'同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？提示利用速率图象进行分析。图2-25解析根据拐角处的高低，首先町以确定小球到达拐角处的速率V!＞V2,而两小球到达出口时的速率讲II等。乂由题意可知两球经历的总路程S相等，根据图屮管的倾斜程度，小球G第一阶段的加速度跟小球/第二阶段的加速度大小相同（设为山）；小球Q第二阶段的加速度跟小球/第一•阶段的加速度大小相同（设为©），显然有心＞02。根据这些物理最人小的分析，在同一个卩一/图象（速率一时间图彖）中两球速率曲线下所围的面积应该相同，末状态速率也相同（纵处标和同）。开始时，。球曲线的斜率大。山于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为八）则必然有小＞$2,显然不合理。考虑到两球末状态速率相等（图屮卩），两球的速率图彖只能如图2-25所示。因此有即°球先从下端的出口掉出。点悟本题只要定性比较两小球运动的时间，而不需要计算两小球到达出口处的具体时间，因而选用了图彖法进行分析。运用图彖分析物理问题，往往能收到事半功倍的效果。另外，盂要特别指出的是：图2—25是速率图彖，而不是速度图彖，图线与时间轴Z间的四边形面积表示路程而不是位移。课本习题解读[p・44问题与练习]1.列车的初速度v0=36km/h=10m/s,加速度«=0.2m/s2,时间z=30s,根据x=v0Z+—tz/2,2得坡路的长度为x=10x30m+丄x0.2x302m=390m。2根据u=v0+at,得列车到达坡底吋的速度为v=10m/s+0.2x30m/s=16m/so2.汽车的初速度vo=18m/s，时间匸3s,位移x=36m,根据x=vQt+—at2,得汽车的加2速度为2(x-v0r)Cl2x(36—18x3)m/s2=—4m/s2,即汽车加速度的人小为4m/s2,负号表示加速度的方向与初速度方向和反。3.列车的初速度vo=O,把列车达到最高行驶速度前的运动看成匀加速运动，则匀加速运动的末速度v=430km/h=119m/s。关键是确定列车做匀加速运动的时间7,题屮己知列车全程行驶约7min30s,以最高速度行驶约30s处于行驶时段的正中，可见列车做匀加速运动的时间/=3.5min=210so根据v=v0+rzf,得列车的加速度V-0119-0Qra==m/s~u0.567m/s~。t2104.返回舱在最后减速阶段的初速度v0=10m/s,末速度尸0,位移x=1.2m,根据V2-Vo=2处,得返I叫舱在最后减速阶段的加速度
即返回舱加速度的人小为，负号表示加速度的方向与初速度方向相反。1.若飞机靠自身发动机起飞，飞机初速度为0,加速度d=5m/s2,位移x=100m,设末速度为v\，由=2ax得vr=yjlax=a/2x5x100m/s
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