高一物理必修1第二章匀变速直线运动的研究 第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀速直线运动的位移1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。在它的v-t图象中，如图所示，着色的矩形的边长正好也是v和t，矩形的面积正好也是vt。可见，对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象下面的面积。2．对于匀变速直线运动，它的位移与它的v-t图象，是不是也有类似的关系？
【思考与讨论】一次课上，老师拿来了一位往届同学所做的“探究小车的运动规律”的测量记录（见下表），表中“速度v”一行是这位同学用某种方法（方法不详）得到的物体在0，1，2，…，5几个位置的瞬时速度。原始的纸带没有保存。位置编号012345时间t/s00.10.20.30.40.5速度v/(m/s)0.380.630.881.111.381.62
以下是关于这个问题的讨论。老师：能不能根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移？学生A：能。可以用下面的办法估算：x＝0.38×0.1＋0.63×0.1＋0.88×0.1＋1.11×0.1＋1.38×0.1+1.62×0.1＝…
学生B：这个办法不好。从表中看出，小车的速度在不断增加，0.38只是0时刻的瞬时速度，以后的速度比这个数值大。用这个数值乘以0.1s，得到的位移要比实际位移小。后面的几项也有同样的问题。学生A：老师要求的是“估算”，这样做是可以的。
老师：你们两个人说得都有道理。这样做的确会带来一定误差，但在时间间隔比较小、精确程度要求比较低的时候，可以这样估算。要提高估算的精确程度，可以有多种方法。其中一个方法请大家考虑：如果当初实验时，时间间隔不是取0.1s，而是取得更小些，比如0.06s，同样用这个方法计算，误差是不是会小一些？如果取0.04s，0.02s，…误差会怎样？欢迎大家发表意见。
二、匀变速直线运动的位移1．下面我们采用这种思想方法，通过v-t图像，研究以初速度v0做匀变速直线运动的物体，在时间t内发生的位移。物体运动的v-t图象如图甲所示。
2．先把物体的运动分成几个小段，例如t/5算一个小段，在v-t图中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示，如图乙所示。我们以每小段起始时刻的速度乘以时间t/5，近似地当做各小段中物体的位移。在v-t图中，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移。
3．当然，上面的做法是粗糙的。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙所示，用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。从v-t图上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。
4．可以想像，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形OABC。梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动的物体从0（此时速度是v0）到t（此时速度是v）这段时间间隔的位移。如图丁所示。
5．在图丁中，CB斜线下梯形OABC的面积是S＝(OC＋AB)×OA把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(v0＋v)t把前面已经得出的v＝v0＋at代入，得到x=v0t+at2这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式
6．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系。（1）匀变速直线运动位移与时间的的关系式为x=v0t+at2；如果初速度为0，这个公式简化为x=at2；如果加速度为0，这个公式简化为x=v0t。（2）匀变速直线运动的v-t图象是倾斜的一条直线，其中图象的倾斜程度表示物体运动的加速度，图象与坐标轴所围面积大小表示物体运动的位移大小。
例题：一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m。汽车开始加速时的速度是多少？解：加速度a=1m/s2，时间t=12s，位移x=180m。根据匀变速直线运动的位移公式：x=v0t+at2代入数据可得：180=v0×12+×1×122v0=9m/s汽车开始加速时的速度是9m/s。
三、用图像表示位移1．位移与时间的关系也可以用图象表示，以位移为纵轴，时间为横轴建立直角坐标系，用来描述物体位移随时间变化的情况。这种图象叫做位移—时间图象，即x-t图象。2．物体静止的图线为与t轴重合或平行的直线；物体匀速直线运动的图线为倾斜的直线；物体匀变速直线运动的图线为曲线。3．x-t图象中图线的倾斜程度表示物体运动的速度。
【课堂训练】1．甲、乙两个物体由静止开始做匀加速直线运动，甲在开始运动经过的时间t1内发生的位移为x1，乙在开始运动经过的时间t2内发生的位移为x2，且时间之比t1:t2=1:2，位移之比x1:x2＝1:8，则它们的加速度之比a1:a2（）A．1:1B．1:2C．1:4D．1:8B
2.一辆汽车以72km/h的速度沿平直的公路匀速前进，因故紧急刹车，加速度大小为0.4m/s2，则刹车后汽车在1min内通过的位移为（ ）A．480mB．500mC．1500mD．1920mB
3.汽车在某段时间内做匀变速运动的位移x与时间t的关系式为x＝20t-2t2，x与t的单位是m和s，则该汽车（ ）A．运动的加速度是-2m/s2B．第1s内的位移是18mC．前2s内的平均速度是16m/sD．前6s内的位移是48mBC
4.一质点从静止开始由A点先做匀加速直线运动到B点。然后从B点做匀减速直线运动到C点时速度刚好为零，已知tAB＝2tBC，那么在AB段和BC段（ ）A．加速度大小之比为2：1B．加速度大小之比为1：2C．位移大小之比为1：2D．平均速度大小之比为1：1BD
5.汽车原来以速度v匀速行驶，刹车后加速度大小为a，做匀减速直线运动，则经过时间t后汽车的位移为（ ）A．B．C．D．无法确定D
6.某物体做直线运动的v－t图象如图所示。则关于物体在前8s内的运动，下列说法正确的是（）A．物体在第6s末改变运动方向B．0－4s内的加速度大于6－8s内的加速度C．前6s内的位移为12mD．第8s末物体离出发点最远AC
7.如图所示是一辆汽车做直线运动的x-t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是（ ）A．OA段运动最快B．AB段表示汽车匀速运动C．CD段表示的运动方向与初始运动方向相反D．运动4h汽车的位移大小为60kmC
8.如图所示，表示做直线运动的某一物体在0～5s内的运动图象，由于画图人粗心未标明v-t图还是x-t图，但已知第1s内的速度小于第3s内的速度，下列说法正确的是（ ）A．该图一定是v-t图B．该图一定是x-t图C．在这5s内，物体的速度越来越大D．在这5s内，物体的位移先增大后减小A
9．某一做直线运动物体的v-t图象如图所示，根据图象求：（1）物体距出发点的最远位移（2）前4s的位移（3）前4s的路程x1=6mx2=5ms=7m
10.某一物体从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化的图线如图所示，则该物体（ ）A．第1s内加速运动，第2、3s内减速运动，第3s末回到出发点B．第1s末和第4s末速度都是8m/sC．第2s末物体位移是10mD．第3s末速度为零，且此时开始改变运动方向BC
11.一物体在外力作用下由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的关系图线如图所示。下列说法正确的是（ ）A．物体运动的最大速度是2m/sB．t＝4s时物体回到出发点C．t＝4s时物体开始反向运动D．t＝1s末和t＝3s末物体的瞬时速度相同AD
12．如图所示为甲、乙两物体从同一地点沿直线向同一方向运动的v-t图象，则（）A．甲、乙两物体在4s末相距最远B．甲、乙两物体在2.5s末相距最近C．甲、乙两物体在5s末相遇D．前4s内甲物体总在乙的前面CD
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