3匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.匀速直线运动的位移:(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=___。vt
(2)做匀速直线运动的物体,其v-t图象是一条平行于时间轴的直线,其位移在数值上等于v-t图线与对应的坐标轴所包围的矩形的_____。面积
2.匀变速直线运动的位移:任务驱动 汽车起步后做初速度为零的匀加速直线运动,位移x与t成正比还是与t2成正比?提示:位移x与t2成正比。
(1)位移在v-t图象中的表示:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图象中的图线和坐标轴包围的_____。如图,在0～t时间内的位移大小等于___________。面积梯形的面积
(2)位移公式:x=__________。①当v0=0时,x=____,表示物体做初速度为零的_______直线运动。②当a=0时,x=___,表示物体做_____直线运动。v0t+at2at2匀加速v0t匀速
3.用图象表示位移(x-t图象):(1)x-t图象的意义:描述物体的_____随_____变化的情况。位移时间
(2)匀速直线运动:由x=vt可知,其x-t图象是一条过原点的_____,如图线a所示。直线
(3)初速度为零的匀加速直线运动:由x=at2可知,其x-t图象是一条过原点的_______,如图线b所示。抛物线
主题一 匀变速直线运动的位移【问题探究】探究点1位移的计算2018年12月11日,从中汽协了解到,11月,新能源汽车产销分别完成17.3万辆和16.9万辆,比上年同期分别增长36.9%和37.6%,新能源汽车逐步走入我们的视野。
表中是某同学记录新能源汽车速度随时间变化的一组实验数据,其中记录了小车在0、1、2、3、4、5位置的瞬时速度。
(1)利用匀速直线运动的公式x=vt,能估算出汽车从位置0到位置5的位移吗?如何估算?
提示:能。估算时,把一小段时间内的运动当成匀速直线运动,这一小段内某时刻的速度当成这段时间内匀速运动的速度,比如从位置0到位置1的位移x1=0.38m/s×0.1s=0.038m,即由位置0到位置5的位移,估算公式为:x=(0.38×0.1+0.63×0.1+0.88×0.1+1.11×0.1+1.38×0.1)m=0.438m。
(2)若当初实验时取的时间间隔不是0.1s而是更小,比如0.06s,两个估算的结果哪个更接近真实值?提示:时间间隔越小,越接近真实值。
探究点2位移在v-t图象中表示(1)对于匀速直线运动,物体的位移对应着v-t图线与t轴围成的面积。对于匀变速直线运动,它的位移是否也对应着v-t图线与t轴围成的面积呢?试分析说明。提示:是。分析过程如下:(微元法)
①把物体的运动分成几个小段,如图甲,每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间=对应矩形面积。所以,整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。
②把运动过程分为更多的小段,如图乙,各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移。
③把整个过程分得非常非常细,如图丙,小矩形合在一起成了一个梯形,梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移。结论:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图象中的与_________________所包围的面积。图象对应的时间轴
(2)如果物体运动的v-t图象如图所示,还可以用v-t图象与t轴所围面积表示位移吗?
提示:可以。
(3)在情景2中,请根据v-t图象和速度公式求出物体在t时间内的位移(即推导位移与时间的关系式)。
提示:v-t图线下面梯形的面积表示位移S=(OC+AB)·OA把面积及各条线段换成所代表的物理量,上式变成x=(v0+v)t①又v=v0+at②由①②式可得x=v0t+at2
【探究总结】1.v-t图象中的位移:匀变速直线运动的v-t图线与横轴t所围面积的数值等于物体在该段时间内的位移的大小。(1)当“面积”在t轴上方时,位移取正值,这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时,位移取负值,这表示物体的位移与规定的正方向相反。
2.x=v0t+at2公式的矢量性:公式x=v0t+at2为矢量公式,其中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
通常有以下几种情况:
3.公式的两种特殊形式:(1)当a=0时,x=v0t(匀速直线运动)。(2)当v0=0时,x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【拓展延伸】深入理解位移公式(1)位移公式反映了位移随时间的变化规律。(2)因为位移公式是关于t的一元二次函数,故x-t图象是一条抛物线(一部分)。但它不表明质点运动的轨迹为曲线。
(3)对于初速度为零(v0=0)的匀变速直线运动,位移公式为x=vt=at2,即位移x与时间t的二次方成正比。
【典例示范】(2019·大同高一检测)2018年7月12日,C919的102架机从上海飞到山东东营胜利机场,完成首次中远距离转场飞行。假设C919客机试飞时做匀加速直线运动,初速度大小为v0=30m/s,加速度大小为a=5m/s2,求:
(1)飞机在3s内的位移大小。(2)飞机在第3s内的位移大小。
【解析】(1)用位移公式求解,3s内飞机的位移x3=v0t3+=30×3m+×5×32m=112.5m。
(2)同理2s内飞机的位移x2=v0t2+=30×2m+×5×22m=70m因此,第3s内的位移x=x3-x2=112.5m-70m=42.5m。答案:(1)112.5m(2)42.5m
【规律方法】求运动物体位移的三种方法(1)公式法:如果知道运动物体的初速度、加速度和运动时间,可直接由位移公式x=v0t+at2求解。
(2)逆向思维法:如果物体做减速到零的匀减速直线运动,可逆向思维,把物体的运动看作是初速度为零的匀加速直线运动,可由位移公式x=at2求解。(3)平均速度法:如果知道初速度、末速度和运动时间,可先由平均速度公式求平均速度,再由求解位移。
【探究训练】1.(多选)(2019·漳州高一检测)一物体做加速度大小为a的匀变速直线运动,经过t时间,其速度由v0变为v,下列关于t时间内所发生的位移x的表达式中正确的是()A.x=v0t+at2B.x=vt+at2C.x=vt-at2D.x=
【解析】选A、C、D。根据位移—时间公式得x=v0t+at2,故A正确。采取逆向思维,根据位移—时间公式得x=vt-at2,故B错误,C正确。根据平均速度公式得x=,故D正确。
2.(2019·宜昌高一检测)某种型号的飞机以60m/s的速度着陆,着陆后飞机的运动可看作匀减速运动,加速度大小为6m/s2,求飞机着陆后12s内的位移大小。
【解析】已知v0=60m/s,a=-6m/s2,则由0=v0+at得飞机停下来所需时间t==10s,即飞机着陆10s后就停下来不再继续向前运动,因此12s内的位移大小为x=v0t+at2=60×10m+×(-6)×102m=300m。答案:300m
【补偿训练】1.汽车进行刹车试验,若速度从8m/s匀减速到零所用的时间为1s,按规定速率为8m/s的汽车刹车后位移不得超过5.9m,那么下列叙述正确的是()A.位移为8m,符合规定B.位移为8m,不符合规定
C.位移为4m,符合规定D.位移为4m,不符合规定
【解析】选C。由公式所以该刹车试验符合规定,C正确。
2.某质点的位移随时间变化的规律是x=4t+2t2,x与t的单位分别为m和s,则该质点的初速度和加速度分别为()A.4m/s和2m/s2B.0和4m/s2C.4m/s和4m/s2D.4m/s和0
【解析】选C。匀变速直线运动的位移与时间的关系为x=v0t+at2,与x=4t+2t2对比可知v0=4m/s,a=4m/s2,选项C正确。
3.某物体做匀变速直线运动,其位移与时间的关系为x=0.5t+t2(m),则当物体速度为3m/s时,物体已运动的时间为()A.1.25sB.2.5sC.3sD.6s
【解析】选A。x=v0t+at2,知v0=0.5m/s,a=2m/s2,根据v=v0+at=3m/s,得t=1.25s,故选A。
主题二 用图象表示位移【问题探究】斑马奔跑的速度快而持久,每小时可达到60～80公里。假设斑马沿直线轨道奔跑,图中描述了它相对出发点的位移随时间变化的情况。
试结合上述情景,讨论下列问题:(1)情景中,斑马最远距离出发点多少米?提示:根据图象可得,斑马最远距离出发点90m。
(2)情景中,斑马各阶段的运动状态是怎样的?提示:斑马在前2.5min内以0.6m/s(v=0.6m/s)的速度做匀速直线运动,在2.5min到3min斑马停在距出发点90m的位置。
【探究总结】1.x-t图象的物理意义:x-t图象反映了物体的位移随时间的变化关系,图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。
2.x-t图象的应用:
【拓展延伸】位移图象的内涵(1)点:图线上每一点代表物体在某一时刻的位移;图线的交点表示此时刻物体相遇。(2)线:倾斜直线表示物体做匀速直线运动;平行于t轴的直线表示物体静止;曲线表示物体做变速直线运动。
(3)截距:位移图象与纵坐标轴的交点表示计时开始时物体的位置到原点的距离和方向,位移图象与横坐标轴的交点表示计时开始的时刻或物体经过原点的时刻。(4)斜率:图线斜率的绝对值表示速度的大小,即v=|k|=
【典例示范】(多选)(2019·郑州高一检测)如图所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x-t图象,由图可知()
A.t=0时,A在B的前面B.B在t2时刻追上A,并在此后跑在A的前面C.B开始运动的速度比A小,t2时刻后才大于A的速度D.A运动的速度始终比B大
【解析】选A、B。t=0时,A在原点正方向x1位置处,B在原点处,A在B的前面,A对;t2时刻两图线相交,表示该时刻B追上A,并在此后跑在A的前面,B对;B开始运动的速度比A小,t1时刻后A静止,B仍然运动,C、D错。
【规律方法】应用位移—时间公式解决问题的一般步骤(1)选择研究对象,分析运动是否为匀变速直线运动,并选择研究过程。(2)分析运动过程的初速度v0、加速度a、时间t及位移x,若其中三个为已知量,就可用x=v0t+at2求第四个物理量。
【探究训练】1.(2019·六安高一检测)如图所示为甲、乙两物体运动的x-t图象,下列关于甲、乙两物体运动的说法,正确的是()
A.甲、乙两个物体同时出发B.甲、乙两个物体在同一位置出发C.甲的速度比乙的速度小D.t2时刻两个物体速度相同
【解析】选C。由题图可知甲物体从0时刻开始运动,而乙物体从t1时刻开始运动,故A错误;由题图可知甲物体从坐标x1处开始运动,而乙物体从坐标为0的位置开始运动,故B错误;x-t图象的斜率等于物体运动的速度,由题图可知乙运动的速度大于甲运动的速度,故C正确;t2时刻两物体的位置坐标相同即两物体相遇,故D错误。
2.(多选)(2019·南安高一检测)物体甲的v-t图象和物体乙的x-t图象如图所示,则这两个物体的运动情况是()
A.甲在前2s内做匀加速运动,且加速度的大小为1.5m/s2B.甲在4s内做往返运动,通过的总路程为6mC.乙在4s内做匀速运动,速度大小为1.5m/sD.乙在4s内做往返运动,它通过的总位移为0
【解析】选B、C。由图甲可知:甲在前2s内做匀减速运动,故A错误;由图甲可知:甲在前2s内做匀减速运动,后2s内反向做匀加速运动,通过的路程:s=2××2×3m=6m,故B正确;由图乙可知:x-t图象斜率表示速度,v==1.5m/s,故C正确;由图乙可知:乙在前4s内一直做匀速直线运动,故D错误。
【补偿训练】1.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车,到中点后改为跑步;而乙则是先跑步,到中点后改为骑自行车,最后两人同时到达B地。又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度大,并且二人骑车的速度均比跑步的速度大。若某人离开A地的距离x与所用时间t的函数关系用函数图象表示,则甲、乙两人的图象可能是下列四个函数图象中的()
A.甲是①,乙是②B.甲是①,乙是④C.甲是③,乙是②D.甲是③,乙是④
【解析】选B。x-t图象的斜率表示速度,根据斜率关系,B对。
2.折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图象,如图所示,t=2s时,两图线相交于C点,下列说法正确的是()
A.两个物体同时、同地、同向出发B.第3s内,甲、乙运动方向相反C.2～4s内,甲做减速运动,乙做加速运动D.2s末,甲、乙未相遇
【解析】选B。两物体同时、同向出发,但不是同地出发,A错误;第3s内甲图线的斜率为负,向负方向运动,乙图线的斜率为正,向正方向运动,二者运动方向相反,B正确;2～4s内,甲向负方向做匀速直线运动,乙沿正方向做加速运动,C错误;2s末,甲、乙的位置相同,甲、乙相遇,D错误。
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【课堂小结】
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