匀变速直线运动的位移与时间的关系【知能准备】1.匀速直线运动的速度—时间图线与时间轴所围的“面积”表示，其位移公式x。2.采用的思想我们可推导出匀变速直线运动的vt图线与时间轴所围的“面积”表示。时间轴上方所围的“面积”表示，时间轴下方所围的面积表示。3.．匀变速直线运动的位移公式是x，其中是矢量的物理量有，是标量的物理量有。4.由匀变速直线运动的速度—时间公式和位移—时间公式可以推出速度—位移公式是，若初速度为零，则位移公式是，速度—位移公式是。【同步导学】1.匀变速直线运动的位移公式根据平均速度的定义式，做任何变速运动的位移都可以表示为xvt，则匀变速直线运动的位移公式为svt(vv)t/2vt1at20t02（1）位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中的v0是初速度，时间t应是物体实际运动的时间。（2）在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速度直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算的结果s0，说明位移的方向与初速度的方向相同；s0说明位移的方向与初速度的方向相反。
1121（1）对于初速度为零（v00）的匀变速直线运动，位移公式为svtat22即位移s与时间t的二次方成正比。（2）速度—时间图像下的面积表示位移的大小，且t轴上方的面积表示正位移，t轴下方的面积表示负位移。例1某做直线运动的质点的位移随时间变化的关系式为x4t2t2,x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度和加速度分别是（）A．4m/s和2m/s2m/sC．4m/s和42B．0和4m/s2D．4m/s和0解析：做匀加速直线运动的位移随时间变化的关系式为：X=v0t1at2，与关系式02x4t2t2相比较，v4m/s,a4m/s2，所以只有C正确。例2一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15m安置一个路标，如图1所示，汽车通过AB两相邻路标用了2s，通过BC两路标用了3s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度。ABC图1解析：汽车从A到C是匀减速运动，设汽车通过路标A时速度为vA，通过AB的时间t12s，通过BC的时间t23s。根据位移公式sv0t1at2，研究AB运动的过程，2有sABvAt1其中tt11at2，研究AC运动过程，有2t25ssACvAt11at22解得：vA8.5m/s,a1m/s2再根据速度公式
vBvAat16.5m/svCvat3.5m/s例3以18m/s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为6m/s2，求：（1）汽车在2s内通过的距离；（2）汽车在6s内通过的距离。解析：应首先判断所求位移对应的时间内汽车是否一直在运动，然后利用匀变速直线运动的位移公式进行求解。已知汽车刹车时间的初速度v018m/s，因为是匀减速直线运动，所以加速度a6m/s，设经过t0秒汽车停止运动(vt0)，则由v1v0atv0得t0a18s3s(6)因t12st0，故前2s内汽车一直在运动，所以前2s内通过的距离（即位移的大小）s1v0t1at2182m1(6)22m24m又因t2226st0，汽车刹车后运动3s就停下来了，所以6s内汽车通过的距离也就是3s内汽车通过的距离，所以6s内汽车通过的距离为1212s2v0tat183m(6)3m27m22[规律总结]对于匀减速直线运动，一定要注意速度减为零后是静止不动还是又反向加速了。对于汽车刹车、飞机着陆等依靠运动阻力减速的物体来说，速度减为零后即静止。所以必须选判定运动物体所经历的实际时间，然后再根据具体条件进行求解。例4有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等时间内通过的位移分别是
24m和64m，连续相等的时间为4s，求质点的初速度和加速度的大小。解析：根据位移公式得12svTaT1A212svTaT2B2根据速度公式得vBvAaT将s124m,s264m,T4s代入上面三式，联立解得vA1m/s,a2.5m/s2[规律总结]匀变速运动的每一个公式都涉及四个物理量，解题时应注意根据题目所给的三个已知量，以及要求的未知量，合理选用公式。例5从车站开出的汽车，做匀加速运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20s，行进了50m，求汽车的最大速度。解析：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图象法。v/m?s-154321O48121620图2t/s设最高速度为vm，由题意，可得方程组s1at2vt1at2ttt11m2221222vma1t1,0vma2t2整理得vm2st1t2250m/s205m/s应用图像法，作出运动全过程的vt图像如图所示，vt图线与t轴围成三角形的面积与位移等值，故msvmt,v22s2stt1t22050m/s205m/s
[规律总结]解决运动学问题的关键是理解运动过程，画出运动过程的vt图，再选择恰当的公式求解。1.位移和速度的关系我们知道vvat,svt1at2t002tv0消去两式中的时间t，得到v222as我们已知道两个位移公式：sv0t1at2和v2222astv0（1）以上两式仅适用于匀变速直线运动。（2）解题时选择哪一个公式求解，要看已知量情况，因为前式中无vt，后式中无t，故选择公式时应尽量减少未知量。（3）本节中所有公式皆为矢量式，除时间t外，所有物理量皆为矢量，因此在解题时，要确定一个正方向，常选初速度方向为正方向，其余矢量依据其与v0方向的关系（即相同或相反），分别代入“+”、“—”，如果某个量是待求的，可选假定其为“+”，最后根据结果的“+”、“—”确定实际方向。例6一个物体以初速度v0从斜面上滑下，滑到斜面底端时速度为vt，则它滑到斜面中点时速度是多大？解析：灵活应用不含时间的位移—速度关系即可求解。tv0设斜面长为x，物体的加速度为a，则有v22设滑到斜面中点时速度为v，对前半程有v22axv022ax2v2v2联立①、②得：v012例7一个滑雪人，从85m长的山坡上匀变速滑下，初速度是1.8m/s,末速度是5.0m/s。他通过这段山坡需要多长时间？解析：滑雪人的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律
来求，已知量的初速度v0，末速度vt和位移x，待求量是时间t，我们可以用不同的方法求解。解法I：利用公式vvat和xvt1at2求解。t002由公式vvat得，需要的时间t2x285m25st0v1v05.0m/s1.8m/s2222解法Ⅱ：利用公式vtv02ax和vtv0at求解，由公式2axvtv0得，加速度vv22at0(5.0m/s)2(1.8m/s)20.128m/s22x285m由公式vtv0at得，需要的时间tvtv05.0m/s1.8m/s25sa0.128m/s2解法Ⅲ：利用平均速度的公式vv0vt和xvt求解2平均速度vv0vt21.8m/s5.0m/s23.4m/s由xvt得，需要的时间x85mtv3.4m/s25s【同步检测】1.一个做匀加速直线运动的物体，初速度v02.0m/s，它在第3s内通过的位移是4.5m，则它的加速度为（）A．0.5m/s2B．1.0m/s2C．1.5m/s2D．2.0m/s22.如图所示的是一质点做直线运动的速度—时间图像，则可知（）A．0-2s与4-5s内质点加速度方向相反B．0-2s与4-5s内质点速度方向相反C．2-4s内质点加速度最大v/m?s-13O24第2题t/s
D．0-5s内的位移为10.5m1.做匀加速直线运动的质点，运动了ts，下列说法中正确的是（）A．它的初速度越大，通过的位移一定越大B．它的加速度越大，通过的位移一定越大C．它的末速度越大，通过的位移一定越大D．它的平均速度越大，通过的位移一定越大2.做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移的中间位置的瞬时速度为v2，则（）A.无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2B.无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2C.无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2D.匀加速运动时，v1v2，匀减速运动时，v1v23.两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车后，后车以与前车相同的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持距离至少为（），从顶端开始到入水人的平均速度的大小是A.sB．2sC．3sD．4s6．海滨浴场的滑梯从顶端到入水处长约12m，一个由滑梯顶端开始做初速度为零的匀加速直线运动，开始运动后第一秒通过路程是0.75m，则人的加速度大小是，从顶端开始到入水，所需要的时间是，人入水时的速度大小是。7.一辆沿水平路面行驶的汽车，速度为36km/h，刹车后获得加速度的大小是4m/s2，求刹车后3s汽车滑行距离。
7.某飞机起飞的速度是50m/s，在跑道上加速时可能产生的最大加速度为4m/s2，该飞机从静止到起飞成功需要跑道的最小长度为多少？8.火车刹车后7s停下来，设火车匀减速运动的最后1s内的位移是2m，则刹车过程中的位移是多少米？【综合评价】1.一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度大小变为10m/s，在这1s内该物体的（）2.
A.位移的大小可能小于4mB．位移的大小可能大于10mC．加速度的大小可能小于4m/s2D．加速度的大小可能大于10m/s22.物体的位移随时间变化的函数关系是s(4t2t2)m，则它运动的初速度、加速度分别是（）A．0,4m/s2B．4m/s,2m/s2C．4m/s,1m/s2D．4m/s,4m/s23.物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第2s内位移为s，则物体运动的加速度大小为（）A.2B．sC．3sD．2ss2234.两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内（）A．加速度大的，其位移一定也大B．初速度大的，其位移一定也大C．末速度大的，其位移一定也大D．平均速度大的，其位移一定也大5.汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为始刹车后2s与开始刹车后的6s汽车通过的位移之比为（）5m/s2，那么开A．1：1B．3：1C．3：4D．4：36.一小球从斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，经过2s到达斜面中点，那么物体滑到斜面底端的总时间为s。7．某市规定，卡车在市区内行驶速度不得超过40km/h，一次一卡车在市区路面紧急刹车后，经1.5s停止，量得刹车痕迹长s9m，问这车是否违章，假定卡车刹车后做匀减速运动，可知其行驶速度达km/h。8.长100m的列车通过长1000m的隧道，列车刚进隧道时的速度是10m/s，完全出隧道时的速度是12m/s，求：（1）列车过隧道时的加速度是多大？（2）通过隧道所用的时间是多少？9.
8.飞机着地后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动，若其刚着地时的速度为60m/s，求：（1）它着地后12s内滑行的距离；（2）停止运动前4s内飞机滑行的距离。9.某种型号的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为4m/s2，飞机的滑行速度达到85m/s时离开地面升空，如果在飞机达到起飞速度时，突然接到指挥塔的命令停止起飞，飞行员立即制动飞机，飞机做匀减速直线运动，加速度的大小为5m/s2，如果要求你为该型号的飞机设计一条跑道，使在这种特殊情况下飞机不至于滑出跑道，你设计的飞机跑道的长度至少为多长？
8.汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s速度为6m/s，求：（1）刹车后2s内前进的距离及刹车过程中的加速度；（2）刹车后前进9m所用的时间；（3）刹车后8s内前进的距离。答案：v2知能准备：1.位移,vt2.微积分,位移,沿正方向的位移,沿负方向的位移3.v0t1at2,2xv0a,t4.v22ax,x1at2,v222ax0同步检测:1.B2.AD3.D4.A5.B6.1.5m/s,4s,6m/s,3m/s7.12.5m/s8.312.5m9.98m2综合评价:1.AD2.D3.D4.D5.C6.227.是,43.2m/s8.(1)0.02m/s,(2)t=100s9.(1)300m,(2)48m10.1625.6m11.(1)-2m/s2,16m(2)1s(3)25m
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