2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[目标定位] 1.了解位移公式的推导过程，理解公式的含义，知道位移对应vt图象与坐标轴围成的面积.2.会利用公式x＝v0t＋at2和匀变速直线运动的vt图象解决有关问题.3.了解匀速直线运动的xt图象的意义、特点，会用它处理简单的相关问题．一、匀速直线运动的位移 做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt，在速度图象中，位移在数值上等于vt图象与对应的时间轴所围的矩形面积．2019-2020年高中物理必修一2.3《匀变速直线运动的位移与时间的关系》学案 想一想：在上图中，质点在5s内的位移是多大？答案 速度－时间图象中矩形的面积表示质点的位移，由图可知质点3秒内的位移为3×3＝9(m)，后2秒的位移为2×2＝4(m)，5秒内的位移是9m＋4m＝13m.二、匀变速直线运动的位移1．由vt图象求位移：(1)物体运动的速度时间图象如图232甲所示，把物体的运动分成几个小段，如图乙，每段位移≈每段起始时刻速度×每段时间＝对应矩形面积．所以整个过程的位移≈各个小矩形面积之和．图232(2)把运动分成更多的小段，如图丙，各小矩形的面积之和，可以更精确地表示物体在整个过程的位移．(3)把整个过程分得非常非常细，小矩形合在一起形成了一个梯形，
梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．(4)结论：匀变速直线运动的vt图象与t轴包围的面积代表匀变速直线运动相应时间内的位移．2．位移与时间关系式：x＝v0t＋at2. 想一想：如果物体运动的vt图象如图233所示，5s内物体的位移是多大？图233答案 根据速度－时间图象面积表示位移，可知物体t时间内的位移等于梯形的面积：x＝S＝m＝20m.三、用图象表示位移(xt图象)1．定义：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象叫位移－时间图象．2．静止物体的xt图象：是一条平行于时间轴的直线．3．匀速直线运动的xt图象：是一条倾斜的直线． 想一想：如果质点的位移时间图象是一条平行于时间轴的直线，但是在x的负半轴上，这表示质点做什么运动呢？答案 只要是平行与时间轴的位移－时间图象即表示物体静止．一、匀变速直线运动的位移公式及有关计算1．位移时间公式x＝v0t＋at2的推导如图234所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得vt图象与时间轴所围成的“面积”表示位移．
图234速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA.与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t.由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at2.2．对位移公式x＝v0t＋at2的理解(1)适用条件：匀变速直线运动．(2)公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．①若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．②若位移的计算结果为正值，说明位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移的方向与规定的正方向相反．(3)两种特殊形式：①当a＝0时，x＝v0t，(匀速直线运动)．②当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．3．用速度—时间图象求位移图线与时间轴所围成的面积表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．例1 一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m，汽车开始加速时的速度为多少？解析 以汽车初速度方向为正方向，运动示意图如图所示
由x＝v0t＋at2得：v0＝－at2＝m/s－×12m/s2＝9m/s.答案 9m/s例2 (xx～xx江苏高一期中)物体由静止开始在水平面上行驶，0～6s内的加速度随时间变化的图线如图235所示．图235(1)画出物体在0～6s内的vt图线；(2)求在这6s内物体的位移．解析 (1)第1秒内为初速度0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4m/s，速度－时间图象是倾斜的直线，1～4s加速度为0，速度不变为匀速直线运动，4～6s初速度即第1秒的末速度v1＝4m/s，加速度a′＝－2m/s2，末速度v6＝v1＋a′t＝0，第1秒和最后2秒的速度时间是倾斜的直线，图象如图：(2)速度－时间图象所围成的面积代表位移，即x＝m＝18m答案 (1)如解析图(2)18m二、位移时间图象(xt图象)1．几种常见的位移时间图象(1)静止的物体的xt图象是平行于时间轴的直线，如图236a.
(2)匀速直线运动的xt图象是一条倾斜的直线，如图b.(3)匀变速直线运动的xt图象是抛物线，如图c.图2362．对xt图象的几点说明(1)纵坐标：初、末位置的纵坐标差的绝对值表示位移的大小；初、末位置纵坐标差的正负号表示位移的方向；正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向．(2)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负号表示速度的方向：斜率为正值，表示速度为正方向；斜率为负，表示速度为负方向．(3)截距：纵截距表示物体起始位置，横截距表示物体开始运动的时刻．(4)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．3．注意：(1)无论是vt图象还是xt图象都不是物体的运动轨迹．(2)vt图象和xt图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动．例3 (xx～xx江西高一期中)如图237是在同一条直线上运动的A、B两质点的位移时间图象，由图可知( )图237A．t＝0时，A在B后面B．B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面C．在0～t1时间内B的运动速度比A大D．A物体在0～t1做加速运动，之后做匀速运动解析 由图象可知，t＝0时，B在A后面，故A不对；B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A，故B的运动速度比A小，C不对；A物体在0～t1做匀速运动，故D不对．答案 B三、刹车类问题
车辆刹车类问题是实际问题，刹车后的车辆可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．注意：对于末速度为零的匀减速直线运动，也可采用逆向思维法，即把运动倒过来看成是初速度为零的匀加速直线运动．例4 一辆汽车以108km/h的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程的加速度的大小为6m/s2，则从开始刹车经过7s汽车通过的距离是多少？解析 设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．v0＝108km/h＝30m/s，由v＝v0＋at得t0＝＝s＝5s方法一：可见，汽车刹车时间为5s，之后汽车是静止的．由x＝v0t＋at2知刹车7s内通过的距离等于刹车5s内经过的位移，由x＝v0t0＋at＝30×5m＋×(－6)×52m＝75m.方法二：逆向思维法：把汽车的运动看做反向的加速运动：x＝at＝×6×52m＝75m.答案 75m 匀变速直线运动的位移及有关计算1．某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是( )A．v0＝4m/s，a＝4m/s2B．v0＝4m/s，a＝8m/s2C．2s内的位移为24mD．2s末的速度为24m/s解析 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定
v0＝4m/s，a＝8m/s2，A错误，B正确．把t＝2s代入公式可得x＝24m，C正确．由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2s代入可得v＝20m/s，D错误．答案 BC2．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s末的速度达到4m/s，物体在第2s内的位移是( )A．6mB．8mC．4mD．1.6m解析 根据速度时间公式v1＝at，得a＝＝m/s2＝4m/s2.第1s末的速度等于第2s初的速度，所以物体在第2s内的位移x2＝v1t＋at2＝4×1m＋×4×12m＝6m．故选A.答案 A位移时间图象(xt图象)3．(xx～xx湖南高一期中)甲、乙两质点同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图238所示，则( )图238A．甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动B．甲、乙两物体从同一地点出发C．当甲、乙两物体速度相同时，二者之间的距离为零D．甲、乙两物体有两次相遇解析 由于图象是xt图象，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲做匀速直线运动，A不对；甲从原点出发，乙从x0处出发，故B不对；当甲、乙两物体速度相同时，是曲线乙上的切线与甲平行时，由图可以看出，此时二者对应的位移并不相等，故C不对；由图看出，甲、乙有两个交点，故两物体有两次相遇，D是正确的．答案 D刹车类问题4．一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5m/s2，
如果在刚刹车时卡车的速度为10m/s，求：(1)刹车开始后1s内的位移大小；(2)刹车开始后3s内的位移大小和3s内的平均速度大小．解析 (1)x＝v0t1－at解得x＝7.5m.(2)设经时间t0停下t0＝＝s＝2st2＝3s的位移大小等于前2s内的位移大小x2＝v0t0＋at＝10m3s内的平均速度v＝＝m/s.答案 (1)7.5m (2)10m m/s(时间：60分钟) 题组一 匀变速直线运动的位移及有关计算1．飞机起飞的过程是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动的过程．飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行．已知飞机在跑道上加速前进的距离为1600m，所用时间为40s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为( )A．2m/s2 80m/sB．2m/s2 40m/sC．1m/s2 40m/sD．1m/s2 80m/s解析 根据x＝at2得a＝＝m/s2＝2m/s2飞机离地速度为v＝at＝2×40m/s＝80m/s.答案 A2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过的位移所用的时间为( )
A.B.C.D.t解析 由x＝at2和＝at′2得：t′＝，故B对．答案 B3．由静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1s内的位移为2m．关于该物体的运动情况，以下说法正确的是( )A．第1s内的平均速度为2m/sB．第1s末的瞬时速度为2m/sC．第2s内的位移为4mD．运动过程中的加速度为4m/s2解析 由v＝＝m/s＝2m/s知，A对；由公式x＝at2得：a＝＝m/s2＝4m/s2，v1＝at1＝4m/s，B错，D对；第2秒内的位移x2＝at－at＝×4×(22－12)＝6m，C错．答案 AD图2394．马路上的甲、乙两辆汽车的速度时间图象如图239所示，由此可判断两车在这30分钟内的平均速度大小关系是( )A．甲车大于乙车B．甲车小于乙车C．甲车等于乙车D．条件不足，无法判断解析 甲图线与时间轴所围的面积大，故位移x大．因v＝，所以A对．答案 A图23105．(xx～xx江苏高一期中)某军事试验场正在平地上试射地对空导弹，若某次竖直向上发射导弹时发生故障，造成导弹的vt图象如图2310所示，
则下述说法中正确的是( )A．0～1s内导弹匀速上升B．1～2s内导弹静止不动C．3s末导弹回到出发点D．5s末导弹恰好回到出发点解析 速度时间图象的斜率代表加速度，0～1s斜率不等于0，且斜率恒定即物体在做匀变速运动，A错.1～2s内斜率为0但速度不等于0，为匀速直线运动，B错．速度时间图象与时间轴所围成的面积代表位移，时间轴以上代表位移为正，时间轴以下代表位移为负，所以3s末导弹位移最大即到达最高点，5s末总位移为0，导弹回到出发点．D对，C错．答案 D题组二 位移－时间图象(xt图象)6．如图2311是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是( )图2311A．OA段运动速度最大B．AB段物体做匀速运动C．CD段的运动方向与初始运动方向相反D．运动4h汽车的位移大小为30km解析 分析题图可知：OA段表示汽车向正方向做匀速直线运动，vOA＝＝＝15km/h，AB段汽车静止；BC段表示汽车向正方向做匀速直线运动，vBC＝＝＝15km/h；CD段表示汽车反方向做匀速直线运动，vCD＝＝＝－30km/h，负号表示运动方向与正方向相反.4h汽车的位移大小为0.答案 C7．质点做直线运动，其xt关系如图2312所示．关于质点的运动情况，下列说法正确的是( )
图2312A．质点在0～20s内的平均速度为0.8m/sB．质点在0～20s内的平均速度为1m/sC．质点做单向直线运动D．质点做匀变速直线运动解析 20s内的位移为16m，平均速度为v＝＝m/s＝0.8m/s，A正确，B错误；质点在0～20s内位移时间图象的斜率为正，说明质点一直朝正方向运动，由图线的倾斜程度可知质点速度先增大后减小，不是匀变速直线运动，C正确，D错误．答案 AC8．如图2313为甲、乙两个物体在同一直线上运动时的位移—时间图象，由图象可知( )图2313A．乙开始运动时，两物体相距20mB．在0～10s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大C．在10～25s这段时间内，两物体间的距离逐渐减小D．两物体在10s时相距最远，在25s时相遇解析 甲的出发地离乙的出发地相距20m，乙比甲晚出发10s，10s内两者之间的距离逐渐增大，乙出发时距离甲的位置大于20m，A错误，B正确；10～25s这段时间内，乙的速度大于甲的速度，两者之间距离逐渐减小，25s时，两者相遇，C、D正确．答案 BCD图2314
9．龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的xt图象如图2314所示，下列关于兔子和乌龟运动的说法中正确的是( )A．兔子和乌龟是从同一地点出发的B．乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速C．骄傲的兔子在T4时刻发现落后奋力追赶，但由于跑得比乌龟慢，还是让乌龟先到达预定位置x3D．在T2～T4时间内，兔子比乌龟运动得快解析 兔子和乌龟都是从原点出发，A对；乌龟一直做匀速运动，兔子先是没动，T1时开始匀速前进，T2～T4时间内又静止，T4后又开始前进，B错；兔子虽在T4时刻发现落后奋力追赶，跑得比乌龟快，但由于时间太晚，还是让乌龟先到达预定位置x3，C错；在T2～T4时间内，兔子静止不动，乌龟一直前进，D错．答案 A题组三 刹车类问题10．一辆汽车以20m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小是5m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2s内与刹车后6s内汽车通过的位移大小之比为( )A．1∶1B．3∶4C．3∶1D．4∶3解析 汽车的刹车时间t0＝s＝4s，故刹车后2s及6s内汽车的位移大小分别为x1＝v0t＋at＝20×2m＋×(－5)×22m＝30m，x2＝20×4m＋×(－5)×42m＝40m，x1∶x2＝3∶4，B正确．答案 B11．某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40km/h.一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕，交警测量了车痕长度为9m，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间为1.5s，根据以上材料判断出这辆车有没有违章超速？解析 汽车滑行9米停下来，可以看做反向的初速为0的匀加速运动，则由x＝at2，得a＝＝m/s2＝8m/s2v＝at＝8×1.5m/s＝12m/s＝43.2km/h>40km/h.此车超速．答案 见解析12．某高速列车刹车前的速度为v0＝50m/s，刹车获得的加速度大小为a＝5
m/s2，求：(1)列车刹车开始后20s内的位移；(2)从开始刹车到位移为210m所经历的时间；(3)静止前2秒内列车的位移．解析 (1)列车从开始刹车到停下用时：由v＝v0＋at得：t＝＝s＝10s则20s内的位移等于10s内的位移x＝v0t＋at2＝[50×10＋×(－5)×102]m＝250m.(2)由x＝v0t＋at2得：210＝50t＋×(－5)t2解得：t1＝6st2＝14s(不合题意，舍去)．(3)列车的运动可看做初速度为0的反向加速运动，则x′＝at′2＝×5×22m＝10m.答案 (1)250m (2)6s (3)10m13．(xx四川宜宾期中)在平直的公路上，一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m，求：(1)汽车开始加速时的速度多大？(2)过了180m处之后接着若以2m/s2大小的加速度刹车，问再过12s汽车离开始加速处多远？解析 (1)x1＝v1t1＋a1t x1＝180m，a1＝1m/s2，t1＝12s，v1＝9m/s.(2)车加速末速度为v2，后减速停下来的时间为t2v2＝v1＋a1t1，v2＝21m/s，0＝v2＋a2t2，a2＝－2m/s2，t2＝10.5s，故减速时间只能计算10.5秒，此段时间位移为x2有x2＝v2t2＋a2t，x2＝110.25m.
此时距离加速起点位移为x＝x1＋x2＝290.25m.答案 (1)9m/s (2)290.25m
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