3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[目标定位] 1.了解位移公式的推导过程，理解公式的含义，知道位移对应v－t图象与坐标轴围成的面积.2.会利用公式x＝v0t＋at2和匀变速直线运动的v－t图象解决有关问题.3.了解匀速直线运动的x－t图象的意义、特点，会用它处理简单的相关问题．一、匀速直线运动的位移 做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt，在速度图象中，位移在数值上等于v－t图象与对应的时间轴所围的矩形面积．图2－3－1 想一想：在上图中，质点在5s内的位移是多大？答案 速度－时间图象中矩形的面积表示质点的位移，由图可知质点3秒内的位移为3×3＝9(m)，后2秒的位移为2×2＝4(m)，5秒内的位移是9m＋4m＝13m.二、匀变速直线运动的位移1．由v－t图象求位移：(1)物体运动的速度－时间图象如图2－3－2甲所示，把物体的运动分成几个小段，如图乙，每段位移≈每段起始时刻速度×每段时间＝对应矩形面积．所以整个过程的位移≈各个小矩形面积之和．图2－3－2(2)把运动分成更多的小段，如图丙，各小矩形的面积之和，可以更精确地表示物体在整个过程的位移．(3)把整个过程分得非常非常细，小矩形合在一起形成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．(4)结论：匀变速直线运动的v－t图象与t轴包围的面积代表匀变速直线运动相应时间内的位移．
2．位移与时间关系式：x＝v0t＋at2. 想一想：如果物体运动的v－t图象如图2－3－3所示，5s内物体的位移是多大？图2－3－3答案 根据速度－时间图象面积表示位移，可知物体t时间内的位移等于梯形的面积：x＝S＝m＝20m.三、用图象表示位移(x－t图象)1．定义：以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象叫位移－时间图象．2．静止物体的x－t图象：是一条平行于时间轴的直线．3．匀速直线运动的x－t图象：是一条倾斜的直线． 想一想：如果质点的位移－时间图象是一条平行于时间轴的直线，但是在x的负半轴上，这表示质点做什么运动呢？答案 只要是平行与时间轴的位移－时间图象即表示物体静止．一、匀变速直线运动的位移公式及有关计算1．位移时间公式x＝v0t＋at2的推导如图2－3－4所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得v－t图象与时间轴所围成的“面积”表示位移．图2－3－4速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA.与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t.
由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at2.2．对位移公式x＝v0t＋at2的理解(1)适用条件：匀变速直线运动．(2)公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．①若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．②若位移的计算结果为正值，说明位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移的方向与规定的正方向相反．(3)两种特殊形式：①当a＝0时，x＝v0t，(匀速直线运动)．②当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．3．用速度—时间图象求位移图线与时间轴所围成的面积表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．例1 一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m，汽车开始加速时的速度为多少？解析 以汽车初速度方向为正方向，运动示意图如图所示由x＝v0t＋at2得：v0＝－at2＝m/s－×12m/s2＝9m/s.答案 9m/s例2 (2013～2014江苏高一期中)物体由静止开始在水平面上行驶，0～6s内的加速度随时间变化的图线如图2－3－5所示．图2－3－5
(1)画出物体在0～6s内的v－t图线；(2)求在这6s内物体的位移．解析 (1)第1秒内为初速度0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4m/s，速度－时间图象是倾斜的直线，1～4s加速度为0，速度不变为匀速直线运动，4～6s初速度即第1秒的末速度v1＝4m/s，加速度a′＝－2m/s2，末速度v6＝v1＋a′t＝0，第1秒和最后2秒的速度时间是倾斜的直线，图象如图：(2)速度－时间图象所围成的面积代表位移，即x＝m＝18m答案 (1)如解析图(2)18m二、位移时间图象(x－t图象)1．几种常见的位移－时间图象(1)静止的物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图2－3－6a.(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图b.(3)匀变速直线运动的x－t图象是抛物线，如图c.图2－3－62．对x－t图象的几点说明(1)纵坐标：初、末位置的纵坐标差的绝对值表示位移的大小；初、末位置纵坐标差的正负号表示位移的方向；正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向．(2)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负号表示速度的方向：斜率为正值，表示速度为正方向；斜率为负，表示速度为负方向．(3)截距：纵截距表示物体起始位置，横截距表示物体开始运动的时刻．(4)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．3．注意：(1)无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹．(2)v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动．例3 (2013～2014江西高一期中)如图2－3－7是在同一条直线上运动的A、B两质点的位移－时间图象，由图可知( )图2－3－7
A．t＝0时，A在B后面B．B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面C．在0～t1时间内B的运动速度比A大D．A物体在0～t1做加速运动，之后做匀速运动解析 由图象可知，t＝0时，B在A后面，故A不对；B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A，故B的运动速度比A小，C不对；A物体在0～t1做匀速运动，故D不对．答案 B三、刹车类问题 车辆刹车类问题是实际问题，刹车后的车辆可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．注意：对于末速度为零的匀减速直线运动，也可采用逆向思维法，即把运动倒过来看成是初速度为零的匀加速直线运动．例4 一辆汽车以108km/h的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程的加速度的大小为6m/s2，则从开始刹车经过7s汽车通过的距离是多少？解析 设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．v0＝108km/h＝30m/s，由v＝v0＋at得t0＝＝s＝5s方法一：可见，汽车刹车时间为5s，之后汽车是静止的．由x＝v0t＋at2知刹车7s内通过的距离等于刹车5s内经过的位移，由x＝v0t0＋at＝30×5m＋×(－6)×52m＝75m.方法二：逆向思维法：把汽车的运动看做反向的加速运动：x＝at＝×6×52m＝75m.答案 75m 匀变速直线运动的位移及有关计算1．某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是( )A．v0＝4m/s，a＝4m/s2B．v0＝4m/s，a＝8m/s2C．2s内的位移为24mD．2s末的速度为24m/s解析 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4m/s，a＝8m/s2，A错误，B正确．把t＝2s代入公式可得x＝24m，C正确．由于v＝v0＋at，即v＝
4＋8t，把t＝2s代入可得v＝20m/s，D错误．答案 BC2．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s末的速度达到4m/s，物体在第2s内的位移是( )A．6mB．8mC．4mD．1.6m解析 根据速度时间公式v1＝at，得a＝＝m/s2＝4m/s2.第1s末的速度等于第2s初的速度，所以物体在第2s内的位移x2＝v1t＋at2＝4×1m＋×4×12m＝6m．故选A.答案 A位移－时间图象(x－t图象)3．(2013～2014湖南高一期中)甲、乙两质点同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图2－3－8所示，则( )图2－3－8A．甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动B．甲、乙两物体从同一地点出发C．当甲、乙两物体速度相同时，二者之间的距离为零D．甲、乙两物体有两次相遇解析 由于图象是x－t图象，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲做匀速直线运动，A不对；甲从原点出发，乙从x0处出发，故B不对；当甲、乙两物体速度相同时，是曲线乙上的切线与甲平行时，由图可以看出，此时二者对应的位移并不相等，故C不对；由图看出，甲、乙有两个交点，故两物体有两次相遇，D是正确的．答案 D刹车类问题4．一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10m/s，求：(1)刹车开始后1s内的位移大小；(2)刹车开始后3s内的位移大小和3s内的平均速度大小．解析 (1)x＝v0t1－at解得x＝7.5m.(2)设经时间t0停下
t0＝＝s＝2st2＝3s的位移大小等于前2s内的位移大小x2＝v0t0＋at＝10m3s内的平均速度v＝＝m/s.答案 (1)7.5m (2)10m m/s
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