2022年高中物理必修第一册2.2匀变速直线运动的位移与时间的关系 导学案

3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.[科学方法]知道匀变速直线运动的位移与vt图象中图线与坐标轴围成面积的关系． 2.[科学方法]了解利用极限思想解决物理问题的方法．(难点) 3.[科学思维]理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题．(重点)一、匀速直线运动的位移1．位移公式：x＝vt.2．vt图象特点(1)平行于时间轴的直线．(2)位移在数值上等于vt图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．二、匀变速直线运动的位移1．位移在vt图象中的表示(1)微元法推导①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．甲       乙       丙(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着vt图象中的图线与对应的时间轴所包围的面积．2．位移与时间的关系⇨x＝v0t＋at2.-10- 三、用图象表示位移1．xt图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象．2．常见的xt图象(1)静止：一条平行于时间轴的直线．(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)匀速直线运动物体的运动轨迹就是它的xt图象．(×)(2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动．(×)(3)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)(4)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．(√)2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2m/s2，则2s末速度和位移分别为(  )A．4m/s 4m  B．2m/s 4mC．4m/s 2mD．2m/s 2mA [物体初速度v0＝0，a＝2m/s2，t＝2s，则v＝v0＋at＝0＋2×2m/s＝4m/s，x＝v0t＋at2＝0＋×2×22m＝4m，故A正确．]3．某物体做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s，经过10s的时间，末速度v＝6m/s，其vt图象如图所示，则10s内位移为(  )A．8m B．80m   C．4m   D．40mD [在vt图象中梯形面积代表匀变速直线运动的位移，x＝m＝40m，故D正确．]匀变速直线运动的位移-10- 1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：运动情况取值若物体做匀加速直线运动a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)若物体做匀减速直线运动a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)若位移的计算结果为正值说明位移的方向与规定的正方向相同若位移的计算结果为负值说明位移的方向与规定的正方向相反3.公式的两种特殊形式(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．【例1】 国歌从响起到结束的时间是48s，国旗上升的高度是17.6m．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4s，然后匀速运动，最后匀减速运动4s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：(1)国旗匀加速运动的加速度大小；(2)国旗匀速运动时的速度大小．思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和．②国旗匀速上升的时间为48s－4s－4s＝40s.③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．[解析] 由题意知，国旗匀加速上升时间t1＝4s，匀减速上升时间t3＝4s，匀速上升时间t2＝t总－t1－t3＝40s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2对于国旗减速上升阶段：x3＝vt3－a2t根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2x1＋x2＋x3＝17.6m由以上各式可得：a1＝0.1m/s2v＝0.4m/s.[答案] (1)0.1m/s2 (2)0.4m/s-10- 对公式x＝v0t－at2的理解(1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．(2)a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．[跟进训练]1．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车后6s内汽车通过的位移之比为(  )A．1∶1 B．1∶3   C．3∶4   D．4∶3C [汽车从刹车到停止用时t刹＝＝s＝4s，故刹车后2s和6s内汽车的位移分别为x1＝v0t－at2＝20×2m－×5×22m＝30m，x2＝v0t刹－at＝20×4m－×5×42m＝40m，x1∶x2＝3∶4，故C正确．]位移—时间(xt)图象1．xt图象的物理意义：xt图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移．2．xt图象的应用位移大小初、末位置的纵坐标差的绝对值方向末位置与初位置的纵坐标差的正负值，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向速度大小斜率的绝对值方向斜率的正负值，斜率为正值，表示物体向正方向运动；斜率为负值，表示物体向负方向运动运动开始位置图线起点纵坐标运动开始时刻图线起点横坐标两图线交点的含义表示同一时刻两物体在同一位置(相遇)3.两点提醒(1)位移—时间图象不是物体的运动轨迹．(2)位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动．【例2】 某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求：-10- (1)物体距出发点的最远距离；(2)前4s内物体的位移；(3)前4s内物体通过的路程．思路点拨：①t＝1s时物体速度最大，t＝3s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大．②利用v-t图象求位移一般采用“面积”法计算，即计算v-t图线与时间轴所围成的面积．[解析] (1)物体距出发点最远的距离xm＝v1t1＝×4×3m＝6m.(2)前4s内的位移x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3m－×2×1m＝5m.(3)前4s内通过的路程s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2＝×4×3m＋×2×1m＝7m.[答案] (1)6m (2)5m (3)7mvt图象和xt图象的应用技巧(1)确认是哪种图象，vt图象还是xt图象．(2)理解并熟记五个对应关系①斜率与加速度或速度对应；②纵截距与初速度或初始位置对应；③横截距对应速度或位移为零的时刻；④交点对应速度或位置相同；⑤拐点对应运动状态发生改变．-10- [跟进训练]2．(多选)甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的xt图象如图所示，则下列说法正确的是(  )A．t＝0时两物体的速度都为零B．t1时刻乙车从后面追上甲车C．t1时刻两车速度相等D．0～t1时间内，两车的平均速度相等BD [由图象的斜率看出，t＝0时两物体的速度都不为零，故A错误；t1时刻之前，甲在前，t1时刻两车的位移相同，说明乙车从后面追上甲车，故B正确；由图象的斜率看出，t1时刻乙车的速度大于甲车的速度，故C错误；0到t1时间内，两车的位移相等，所用时间相等，则两车的平均速度相等，故D正确．]匀变速直线运动的两个重要推论1．平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝.推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.由x＝v0t＋at2得，①平均速度＝＝v0＋at②由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，v＝v0＋a③由②③得＝v④又v＝v＋a⑤-10- 联立以上各式解得v＝，所以＝v＝.2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③联立①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．【例3】 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度、末速度及加速度．[解析] 解法一：基本公式法如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋aT2x2＝vA·2T＋a(2T)2－vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入以上三式，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s.解法二：平均速度法连续两段相等时间T内的平均速度分别为1＝＝m/s＝6m/s，2＝＝m/s＝16m/s且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝m/s＝11m/s解得vA＝1m/s，vC＝21m/s加速度为a＝＝m/s2＝2.5m/s2.解法三：逐差法-10- 由Δx＝aT2可得a＝＝m/s2＝2.5m/s2又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T联立解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.[答案] 1m/s 21m/s 2.5m/s2速度的四种求解方法(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．(4)图象法，通过画vt图象求解．[跟进训练]3．一质点做匀变速直线运动，第3s内的位移为12m，第5s内的位移为20m，则该质点运动过程中(  )A．初速度大小为零B．加速度大小为4m/s2C．第4s内的平均速度为8m/sD．5s内的位移为50mB [根据题意，v2.5＝12m/s，v4.5＝20m/s，故a＝＝＝m/s2＝4m/s2，选项B正确；初速度大小v0＝v2.5－at2.5＝12m/s－4m/s2×2.5s＝2m/s，选项A错误；第4s内的平均速度等于3.5s时刻的瞬时速度，即为v3.5＝v2.5＋at1＝12m/s＋4×1m/s＝16m/s，选项C错误；5s内的位移为x＝v0t5＋at＝60m，选项D错误．]1．[科学思维]掌握公式x＝v0t＋at2，并能应用公式解决实际问题．2．[科学方法]应用vt图象“面积法”求位移、应用“推论法”求平均速度和加速度．-10- 1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s末的速度达到4m/s，物体在第2s内的位移是(  )A．6m   B．8mC．4mD．1.6mA [由静止开始的匀加速直线运动的物体，第1s末的速度为4m/s，由速度公式v＝at，得加速度a＝＝4m/s2.所以物体在第2s内的位移s2＝vt2＋at＝6m．选项A正确．]2．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(  )A．4m/s与2m/s2B．0与4m/s2C．4m/s与4m/s2D．4m/s与0C [对比x＝4t＋2t2和位移公式x＝v0t＋at2，可知其初速度v0＝4m/s，2m/s2＝a，则加速度a＝4m/s2.]3．折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图象，如图所示，t＝2s时，两图线相交于C点，下列说法正确的是(  )A．两个物体同时、同地、同向出发B．第3s内，甲、乙运动方向相反C．2～4s内，甲做减速运动，乙做加速运动D．第2s末，甲、乙未相遇B [两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A错误；第3s内甲图线的斜率为负，向负方向运动，乙图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B正确；2～4s内，甲沿负方向做匀速直线运动，乙沿正方向做加速运动，C错误；第2s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D错误．]4．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216km/h，在最初2s内滑行114m．问：(1)第5s末的速度大小是多少？(2)飞机着陆后12s内滑行多远？-10- [解析] (1)最初2s内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据解得：a＝－3m/s2，5s末的速度v2＝v0＋at＝45m/s.(2)着陆减速总时间t＝＝20s，飞机着陆后12s内的位移x2＝v0t＋at2＝504m.[答案] (1)45m/s (2)504m-10-