3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.知道v－t图象中的“面积”与位移的对应关系.2.经历位移公式的研究过程，理解公式的意义及正负号的意义.3.能运用位移公式解决简单问题.4.掌握匀变速直线运动x－t图象的特点，并会用它解决简单的问题.一、匀速直线运动的位移1.位移公式：x＝vt.2.位移在v－t图象中的表示：对于匀速直线运动，物体的位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积.如图1所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的位移.图1二、匀变速直线运动的位移1.位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图线与时间轴所包围的梯形面积.如图2所示，阴影图形的面积等于物体在t1时间内的位移.图22.公式：x＝v0t＋at2.三、位移—时间图象(x－t图象)1.x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间的变化规律.2.常见的x－t图象：(1)静止：一条平行于时间轴的直线.(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线.3.x－t图象的斜率等于物体的速度.
1.判断下列说法的正误.(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动.(×)(2)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大.(×)(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关.(√)2.如图3所示为某一质点沿直线运动的x－t图象，则质点在第1s内做________运动，1～3s内________.第1s内速度为__________，1～3s内速度为__________，3～5s内速度为________，0～5内的位移为________.图3答案 匀速 静止 10m/s 0 －5m/s 0【考点】x－t图象【题点】变速直线运动的x－t图象一、匀变速直线运动的位移时间关系式某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.完成下列填空，推导匀变速直线运动的位移时间关系，体会微元法的基本思想.(1)把匀变速直线运动的v－t图象分成几个小段，如图4所示.每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积.故整个过程的位移≈各个小矩形的____________.图4(2)把运动过程分为更多的小段，如图5所示，各小矩形的____________可以更精确地表示物体在整个过程的位移.图5(3)把整个运动过程分得非常细，如图6所示，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC
，__________就代表物体在相应时间间隔内的位移.如图6所示，v－t图线下面梯形的面积图6S＝(OC＋AB)·OA把面积及各条线段换成其所代表的物理量，上式变成x＝(v0＋v)t①又因为v＝v0＋at②由①②式可得x＝v0t＋at2.答案 (1)面积之和 (2)面积之和 (3)梯形面积1.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动.2.公式的矢量性：x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向.一般选v0的方向为正方向.(1)a：匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值.(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反.3.两种特殊形式(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比.(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式.例1 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2m，则下列说法正确的是( )A.物体运动的加速度为2m/s2B.物体第2秒内的位移为4mC.物体在第3秒内的平均速度为8m/sD.物体从静止开始通过32m的位移需要4s的时间答案 D
解析 根据x1＝at12得，物体运动的加速度a＝＝m/s2＝4m/s2，故A错误.物体在第2s内的位移x2＝at22－at12＝×4×(4－1)m＝6m，故B错误.物体在第3s内的位移x3＝at32－at22＝×4×(9－4)m＝10m，则第3s内的平均速度为10m/s，故C错误.物体从静止开始通过32m的时间t＝＝s＝4s，故D正确.【考点】位移与时间关系的理解及应用【题点】位移与时间关系的应用针对训练1 某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3m/s时，物体已运动的时间为( )A.1.25sB.2.5sC.3sD.6s答案 A解析 由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5m/s，a＝2m/s2，再由速度公式v＝v0＋at知，t＝1.25s，选项A正确.二、位移—时间图象一列火车沿直线轨道运动，如图7描述了它关于出发点的位移随时间变化的情况.图7(1)火车最远距离出发点多少米？(2)试分析火车各阶段的运动状态.答案 (1)90m(2)火车在前2.5min内以0.6m/s的速度做匀速直线运动，在2.5min到3min火车停在距出发点90m的位置.1.对x－t图象的理解(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向.(2)截距：纵截距表示物体的起始位置.(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.2.几种常见的位移－时间图象(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图8中的直线A.
图8(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图中直线B和C，其斜率表示速度.其中B沿正方向运动，C沿负方向运动.(3)匀变速直线运动的x－t图象：由位移x＝v0t＋at2可以看出，x是t的二次函数.当v0＝0时，匀变速直线运动的x－t图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图9中切线斜率逐渐增大，质点的速度逐渐增大.图9例2 如图10是在同一条直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )图10A.t＝0时，A在B后面B.B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面C.在0～t1时间内B的运动速度比A大D.A质点在0～t1时间内做加速运动，之后做匀速运动答案 B解析 由题图可知，t＝0时，B在A后面，故A错误；B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A的斜率，故B的运动速度比A小，C错误；A质点在0～t1时间内做匀速运动，之后处于静止状态，故D错误.【考点】x－t图象【题点】与x－t图象有关的追及相遇问题x－t图象与v－t图象的比较种类内容v－t图象x－t图象图象上某点的纵坐标表示瞬时速度表示某一时刻的位置图线斜率表示加速度表示速度图线与时间轴所围面积表示位移无意义
图线与纵坐标轴的交点表示初速度表示初始时刻的位置两图线交点坐标表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点表示相遇注意：(1)无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹.(2)v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动.针对训练2 (多选)下列所给的图象中能反映做直线运动的物体回到初始位置的是( )答案 ACD解析 A项中，物体开始和结束时的纵坐标为0，说明物体又回到了初始位置，A正确；B项中，物体一直沿正方向运动，位移增大，故无法回到初始位置，B错误；C项中，物体第1s内的位移沿正方向，大小为2m，第2s内的位移沿负方向，大小为2m.故2s末物体回到初始位置，C正确；D项中，物体做匀变速直线运动，2s末时物体的总位移为零，故物体回到初始位置，D正确.【考点】运动图象的意义及应用【题点】x－t图象和v－t图象的综合应用三、刹车问题分析例3 一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动.设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，求：(1)开始制动后，前2s内汽车行驶的距离；(2)开始制动后，前5s内汽车行驶的距离.答案 (1)30m (2)40m解析 汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4s.(1)因为t1＝2st，所以汽车5s时早已停止运动故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40m【考点】刹车问题及逆向思维【题点】刹车问题中的位移计算刹车类问题的处理思路实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止.解答此类问题的思路是：(1)先求出它们从刹车到停止的刹车时间t刹＝；(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解.若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t
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