匀变速直线运动的位移与时间的关系【学习目标】1、掌握v-t图象描述位移的方法2、掌握位移与时间的关系并能灵活应用【要点梳理】要点一、匀变速直线运动的位移公式推导方法一：用v-t图象推导在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示．如果把每一小段△t内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移，显然小于匀变速直线运动在该段时间内的位移．但时间越小，各匀速直线运动的位移和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图线下面的面积．可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面积．这一推理及前面讲瞬时速度时，都用到无限分割逐渐逼近的方法，这是微积分原理的基本思想之一，我们要注意领会．匀变速直线运动的v-t图象与t轴所夹面积表示t时间内的位移．此结论可推至任何直线运动．图线与时间轴间的面积表示位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，算术和表示路程．由前面的讨论可知，当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线AP，设想的运动就代表了真实的运动，由此可以求出匀变速运动在时间t内的位移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积(如图丙)．这个面积等于，即位移．这就是匀变速直线运动的位移公式．方法二：用公式推导由于位移，而，又，故，即．要点诠释：①该式也是匀变速直线运动的基本公式，和综合应用，可以解决所有的匀变速直线运动问题．②公式中的x、v0、a、vt都是矢量，应用时必须选取统一的方向为正方向．若选v0为正方向，则在加速运动中，a取正值，即a＞0，在减速运动中，a取负值，即a＜0．要点二、位移－时间图象（x-t图象） 要点诠释：1、位移-时间图象的物理意义描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况。
2、位移-时间图象的理解(1)能通过图像得出对应时刻物体所在的位置。（2）图线的倾斜程度反映了运动的快慢。斜率越大，说明在相同时间内的位移越大，即运动越快，速度越大。（3）图线只能描述出对于出发点的位移随时间的变化关系，不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系，两者不能混淆。（4）初速度为零的匀变速直线运动的对应的x-t图象为过原点的抛物线的一部分。要点三、x-t图象与v-t图象的比较 要点诠释：图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在图象与图象中的比较．图图①表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度v）①表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a）②表示物体静止②表示物体做匀速直线运动③表示物体静止在原点O③表示物体静止④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为④表示物体做匀减速直线运动，初速度为⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度⑥时间内物体位移为⑥时刻物体速度为（图中阴影部分面积表示质点在0～时间内的位移）要点四、运用图象时要注意问题 要点诠释： 1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。特别是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。 2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。 （1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。 （2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。 （3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如图象的斜率表示速度大小，图象的斜率表示加速度大小。 （4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。 （5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量。
【典型例题】类型一、关于位移图象和速度图象的理解 例1、某物体的位移图象如图所示，若规定向东为位移的正方向，试求；物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度。 【答案】见解析 【解析】物体在t＝0开始从原点出发向东行做匀速直线运动，历时2s；接着在第3s～5s内静止；第6s内继续向东做匀速直线运动；在第7s～8s内匀速反向西行，至第8s末回到出发点；在第9s～12s内从原点向西行做匀速直线运动。 由x－t图得各阶段的速度如下： OA段：向东 AB段：物体静止，速度为0 BC段：向东 CD段：负号说明方向向西 DE段：向西 【总结升华】位移图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。图象平行于t轴，说明物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动。举一反三 【变式1】如图所示，A、B两物体从O点开始运动，从A、B两物体的位移图象可知，下述说法正确的是() A．A、B两物体的运动方向相同 B．A物体2s内发生的位移是l0m C．B物体发生l0m的位移的时间是2s D．A物体的速度大小是5m/s，B的速度大小是2.5m/s 【答案】ABD【变式2】若一质点从t＝0开始由原点出发沿直线运动，其速度一时间图象如图所示，则该质点()
A．t＝1s时离原点最远B．t＝2s时离原点最远C．t＝3s时回到原点D．t＝4s时回到原点，路程为10m【答案】B、D【解析】做直线运动的速度一时间图线与时间轴所围成的图形面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形面积应最大．t＝1s时，所围成图形为△OAB，t＝2s时，所围成的图形为△OAC．很显然，所以t＝2s时位移大，离原点最远；当t＝3s时，所围成的图形为△OAC和△CDE，由于△CDE在t轴以下位移为负，则应为，当t＝4s时，＝，即位移为零，质点回到出发点，路程应为m．故选B、D．【总结升华】离出发点远近涉及位移，在v-t图象中位移的判断，可利用所围成的面积表示．但应注意，当所围图形在时间轴以下时，表示此位移为负方向上的位移．类型二、位移与时间关系公式的应用中注意问题例2、列车进站前刹车，已知刹车前列车速度为60km/h，刹车加速度大小为0.8m/s2，求刹车后15s和30s列车的速度．【答案】4.7m/s0【解析】以初速度方向为正方向，60km/h＝16.7m/s，刹车后15s，列车的速度；刹车至列车停下所需时间，故刹车后30s列车的速度v2＝0．【总结升华】解匀减速问题应注意：（1）书写格式规范，如不能写成v1＝v0-at，因a是矢量，代入数字时带有方向“+”或“-”。“+”可以省去．(2)刹车类问题应注意停止运动的时间，一般应先判断多长时间停下，再来求解．本题若代入30s运算得v2＝-7.3m/s，是错误的．物理题目的求解结果一定要符合实际，例如你所求得的量若质量出现负值就是不符合实际的．举一反三【变式1】以18m/s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为6m/s2，求汽车在6s内通过的距离．【答案】27m【解析】如果把a＝-6m/s2和v0＝18m/s代入位移公式，得．汽车在6s内的位移竟然为0，这可能吗?为什么会出现这样的结果?原来汽车刹车后只运动了3s，3s后便停下了，直接把6s的时间代入公式必定会出现错误的结论．故应先判断汽车停下的时间，设历时t0停下，，，故6s内的位移等于3s内的位移．解法一：由，有．解法二：由逆向运动法知，．解法三：由有，．【变式2】由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第ls内通过0.4m位移，则不正确的结论是()A．第1s末的速度的0.8m/sB．加速度为0.8m/s2
C．第2s内通过位移为1.2mD．2s内通过的位移为1.2m【答案】D类型三、位移图象描述相遇问题例3、如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的x-t图象，下列说法中正确的是() A．甲启动的时刻比乙早t1 B．当t=t2时，两物体相遇 C．当t=t2时，两物体相距最远 D．当t=t3时，两物体相距x1 【答案】ABD 【解析】由x-t图象可知甲物体是在计时起点从坐标原点x1处开始沿x负方向做匀速直线运动，乙物体是在t1时刻开始从坐标原点沿x正方向做匀速直线运动，两物体在t2时刻相遇，然后远离，t3时刻两物体相距x1，因此选项ABD正确。 【总结升华】x-t图象中两图线相交说明两物体相遇，其交点A的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。举一反三 【变式1】如图所示，折线a是表示物体甲从A地向B地运动的位移图线，直线b是表示物体乙从B地向A地运动的位移图线，则下述说法中正确的是() A．甲、乙两物体是相向运动 B．甲物体是匀速运动，速度大小是7.5m/s C．甲、乙两物体运动8s后，在距甲的出发点60m处相遇 D．甲在运动中停了4s 【答案】ACD【解析】由图象知，甲、乙两物体在开始运动时相距100m，后来相距越来越小，甲向乙的出发点运动，乙向甲的出发点运动，因而它们是相向运动，选项A正确。 两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置，即相遇的时刻与位置，故选项C正确。 甲在运动中有一段图线与时间轴平行，这表示甲在4s内位置始终没变，因而是静止的，选项D正确。 甲在全过程中并不是匀速运动，故选项B是错的。【变式2】一质点的x-t图象如图甲所示，那么此质点的v-t图象可能是图乙中的()
【答案】A【解析】解题关键明白两种图象斜率的物理意义不同．v-t图象的切线斜率表示速度，由图象可知：0～时间内图象的斜率为正且越来越小，在时刻图象斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；从～时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A正确．类型四、位移公式解决实际问题例4、2015年1月3日在京津高速上，司机驾驶小汽车以108km/h的速度匀速行驶，突然发现同一车道的正前方110m处停有一辆故障车，由于无法从其它车道避让，司机立即采取措施．司机从发现前方故障车到开始制动有1s的反应时间，制动后小汽车以大小为a=5m/s2的加速度刹车，请你通过计算判断这辆小汽车能否跟前方故障车发生追尾事故？请你给司机提出至少一条合理的可以防止和减少追尾的建议．【答案】见解析【解析】108km/h=30m/s，司机在反应时间内做匀速运动，，刹车后做匀减速运动，由30m/s到0，由，可得刹车所需时间为6s，由位移-时间公式得：，总位移，会发生追尾．建议：1、不要超速，2、不要酒后驾驶，3、不要疲劳驾驶．【总结升华】解决本题的关键知道汽车在反应时间内和刹车后的运动规律，结合运动学公式灵活求解，基础题．举一反三【变式1】南惠高速公路最大限速为30m/s，一辆小车以25m/s的速度在该路段紧急刹车，滑行距离为62.5m．（汽车刹车过程可认为做匀减速直线运动）（1）求该小车刹车时加速度大小；（2）若该小车以最大限速在该路段行驶，驾驶员的反应时间为0.4s，求该车的安全距离为多少？（安全距离即驾驶员从发现障碍物至停止，车运动的距离）【解析】（1）根据速度时间公式得，及位移时间公式联立两式解得：（2）小车在反应时间内做匀速运动刹车后小车做匀减速直线运动所需时间为：，小车安全距离为：
【变式2】一质点做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，1s后速度的大小变为10m/s，在这1s内该质点()A．位移的大小可能小于4mB．位移的大小可能小于10mC．加速度的大小可能小于4m/s2D．加速度的大小可能大于10m/s2【答案】ABD【解析】题目中给出的两个速度值只有大小，没有方向，因此质点可能是做匀加速直线运动，也可能是做匀减速直线运动．若质点做匀加速直线运动，利用平均速度公式得7m/s．物体在1s内的位移，故B正确．加速度．若质点做匀减速直线运动，利用平均速度公式得．物体在1s内的位移，故A正确．加速度，故D正确．所以答案为A、B、D．【变式2】两物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀加速直线运动，若它们的初速度大小不同，而加速度大小相同，则在运动过程中()A．两物体速度之差保持不变B．两物体的速度之差与时间成正比C．两物体的位移之差与时间成正比D．两物体的位移之差与时间的平方成正比【答案】AC【变式3】一物体以5m/s的初速度，－2m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，4s内物体通过的位移为()A．4mB．36mC．6.25mD．以上答案都不对【答案】C【变式4】矿井里的升降机由静止开始匀加速上升，经过5s速度达到v=4m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，再经4s停在井口．求矿井的深度．【答案】98m
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