高中物理必修第一册人教版2.2匀变速直线运动的位移与时间的关系 导学案

2019-2020年高中物理第一章运动的描述第6节匀变速直线运动位移与时间的关系教学案教科版必修1               1．在vt图像中图线与t轴所围的面积表示物体的位移。2．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2。3．匀变速直线运动的平均速度公式＝＝v。4．匀速直线运动的xt图线是一条倾斜的直线，匀变速直线运动的xt图线是抛物线的一部分。一、匀变速直线运动的位移1．在匀变速直线运动中(如图161所示)：物体的位移等于vt图线下面梯形的面积。图1612．匀变速直线运动的位移公式：由梯形面积x＝，将速度公式vt＝v0＋at代入上式得匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2。二、位移—时间图像1．定义：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像。2．静止物体的xt图像：是一条平行于时间轴的直线。3．匀速直线运动的xt图像：是一条倾斜的直线。4．由匀变速直线运动的位移公式看出，x是t的二次函数，故其xt图像是过原点的抛物线的一部分。三、匀变速直线运动的两个重要推论1．平均速度做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间 时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半，即＝v＝。2．逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①在时间2T内的位移x2＝v0(2T)＋a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论可用于判断物体是否做匀变速直线运动，也可用于求加速度。1．自主思考——判一判(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动。(√)(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(×)(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(√)(4)由xt图像能得出对应时刻物体所在的位置。(√)(5)xt图像中的图线就是物体的实际运动轨迹。(×)(6)由xt图像能得到某时间内物体的位移。(√)2．合作探究——议一议(1)如何根据xt图像比较做匀速直线运动物体的速度大小？[提示] 匀速直线运动的xt图像是一条过原点的倾斜直线，直线的斜率等于物体的速度大小，所以比较直线的斜率便可比较出物体的速度大小。(2)在变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度一定等于初速度与末速度的平均值吗？[提示] 在一般的变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度并不一定等于初、末速度的平均值，只有在匀变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度才等于初、末速度的平均值。对匀变速直线运动位移的理解 1．对位移公式x＝v0t＋at2的理解(1)适用条件：匀变速直线运动。(2)矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。(3)公式用法：公式反映了初速度v0、加速度a、时间t、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。(4)公式的特殊形式2．对vt图像中“面积”的进一步理解(1)对于任何形式的直线运动的vt图像，图线与时间轴所围的面积都等于物体的位移。(2)如果一个物体的vt图像如图162所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1＜0，x2＞0，则0～t2时间内的总位移x＝|x2|－|x1|。若x＞0，位移为正；若x＜0，位移为负；物体在0～t2时间内通过的总路程s＝|x1|＋|x2|。图162[典例] 飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216km/h，在最初2s内(未停下来)滑行114m。求：(1)5s末的速度大小是多少？(2)飞机着陆后12s内滑行多远？[思路点拨](1)由x＝v0t＋at2求出a。(2)判断滑行的时间，由速度公式和位移公式计算。[解析] (1)最初2s内：x1＝v0t1＋at12解得：a＝－3m/s25s末的速度：v2＝v0＋at2＝45m/s。 (2)着陆减速总时间：t＝＝20s飞机着陆后12s内的位移：x2＝v0t3＋at32＝504m。[答案] (1)45m/s (2)504m处理刹车类问题的思路(1)先确定刹车时间，若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则刹车时间为T＝。(2)将题中所给出的已知时间t与T比较，若T＜t，则在利用公式v＝v0－at、x＝v0t－at2进行计算时，公式中的时间应为T；若T＞t，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t。    1.如图163是物体做直线运动的vt图像。由图可知，该物体(  )图163A．第1s内和第3s内的运动方向相反B．第3s内和第4s内的加速度相同C．第1s内和第4s内的位移大小不相等D．0～2s和0～4s内的平均速度大小相等解析：选B 第1s内和第3s内的速度都为正的，运动方向相同，A项错误；第3s内和第4s内的图像斜率相同，因此加速度相同，B项正确；第1s内和第4s内的位移大小都等于图线与横轴所围面积的大小，大小都为x＝×1×1m＝0.5m，C项错误；0～2s内的位移和0～4s内的位移相同，但由于时间不同，因此平均速度不同，D项错误。2．物体以初速度v0＝10m/s做匀加速直线运动，物体运动的加速度a＝1m/s2，则求物体运动8s内的位移和第2个8s内的位移。解析：据题意可知，v0＝10m/s，a＝1m/s2， 据x＝v0t＋at2解得物体在8s内的位移为x1＝v0t1＋at12＝112m。物体在16s内的位移为x2＝v0t2＋at22＝288m。则物体在第2个8s内位移为x′＝x2－x1＝288m－112m＝176m。答案：112m 176m对xt图像的理解由xt图像可获取的信息位移大小初、末位置的纵坐标差的绝对值方向末位置与初位置的纵坐标差的正负，表示方向，正值表示位移沿正方向，负值表示位移沿负方向速度大小斜率的绝对值方向斜率为正值时，速度方向沿正方向，斜率为负值时，速度方向沿负方向运动开始位置图线起点纵坐标运动开始时刻图线起点横坐标两图线交点的含义表示两物体在同一位置(相遇)[典例] 如图164甲所示是一个物体沿直线运动的xt图像。求：图164(1)第5秒末的速度大小；(2)0～60秒内的总路程；(3)在vt坐标中作出0～60s内物体的速度—时间图像。 [审题指导] 通过题图可以获得以下信息：(1)0～10s内物体向正方向做匀速直线运动。(2)10～40s内物体静止。(3)40～60s内物体向负方向做匀速直线运动。[解析] (1)0～10s内匀速运动的速度v1＝＝＝2m/s，即第5秒末的速度大小为2m/s。(2)0～10s内的路程d1＝20m10～40s内的路程d2＝040～60s内的路程d3＝20m所以0～60s内的路程d＝d1＋d2＋d3＝40m。(3)0～10s内速度v1＝2m/s10～40s内速度为040～60s内速度v2＝＝＝1m/s，方向与原速度方向相反，速度—时间图像如图所示。[答案] 见解析(1)分析图像问题时首先注意坐标轴所对应的物理量，确定是xt图像还是vt图像。(2)不同图像对应斜率的含义不同，xt图像的斜率表示物体速度的大小和方向，而vt图像的斜率表示物体加速度的大小和方向。    1．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2s内物体位移最大的是(  )解析：选B 选项A、C、D中2s内位移均为0，选项B一直向正方向运动，B正确。2．一质点的xt图像如图165所示，那么此质点的vt图像可能是选项中的(  ) 图165 解析：选A xt图像的切线斜率表示速度，由图像可知：0～时间内图像的斜率为正且越来越小，在时刻图像斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；从～t1时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A正确。3.(多选)如图166所示为在同一直线上运动的A、B两质点的xt图像，由图可知(  )图166A．t＝0时，A在B的前面B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面C．B开始运动的速度比A的小，t2时刻后才大于A的速度D．A运动的速度始终比B的大解析：选AB t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对。t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对。B开始运动的速度比A的小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错。＝v＝及Δx＝aT2的应用[典例] 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小。[思路点拨] (1)“连续相等的两个时间间隔内”→时间T相同且T＝4s[解析] 方法一：基本公式法x1＝vAT＋aT2x2＝vA·2T＋a(2T)2－(vAT＋aT2)vC＝vA＋a·2T 将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入以上三式，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s。方法二：平均速度公式法连续两段时间T内的平均速度分别为：1＝＝m/s＝6m/s，2＝＝m/s＝16m/s。且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝m/s＝11m/s。解得vA＝1m/s，vC＝21m/s。其加速度为：a＝＝m/s2＝2.5m/s2。方法三：逐差法由Δx＝aT2可得a＝＝m/s2＝2.5m/s2①又x1＝vAT＋aT2②vC＝vA＋a·2T③由①②③式解得：vA＝1m/s，vC＝21m/s。[答案] 1m/s 21m/s 2.5m/s2(1)＝适用于任何形式的运动。(2)＝只适用于匀变速直线运动。(3)用平均速度求位移，因为不涉及加速度，比较简单方便。x＝t＝t也是矢量式。(4)Δx＝aT2只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。    1．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1s内和第2 s内位移大小依次为9m和7m，则刹车后6s内的位移是(  )A．20m        B．24mC．25mD．75m解析：选C 设汽车的初速度为v0，加速度为a。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得：x2－x1＝aT2得a＝＝＝－2m/s2。根据第1s内的位移：x1＝v0t＋at2，代入数据得，9＝v0×1＋×(－2)×12，解得v0＝10m/s。汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝s＝5s。则汽车刹车后6s内的位移等于5s内的位移，为x＝t0＝×5m＝25m。故C正确，A、B、D错误。2．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s,4s内位移为20m，求：(1)质点4s末的速度；(2)质点2s末的速度。解析：解法一：利用平均速度公式4s内的平均速度＝＝，代入数据解得，4s末的速度v4＝8m/s2s末的速度v2＝＝m/s＝5m/s。解法二：利用两个基本公式由x＝v0t＋at2得a＝1.5m/s2再由v＝v0＋at得质点4s末的速度v4＝(2＋1.5×4)m/s＝8m/s2s末的速度v2＝(2＋1.5×2)m/s＝5m/s。答案：(1)8m/s (2)5m/s 1．根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是(  )A．加速度大的物体位移大B．初速度大的物体位移大C．末速度大的物体位移大D．以上说法都不对解析：选D 由x＝v0t＋at2知，x的大小与初速度、加速度、时间都有关，t一定时，x与两个量有关，不能简单地说初速度大或加速度大，位移一定大，A、B、C均错，D对。2．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车后6s内汽车通过的位移之比为(  )A．1∶1         B．1∶3C．3∶4D．4∶3解析：选C 汽车从刹车到静止用时：t刹＝＝s＝4s，故刹车后2s为：x1＝v0t－at2＝20×2m－×5×22m＝30m刹车后6s内汽车的位移：x2＝v0t刹－at刹2＝20×4m－×5×42m＝40m，故：x1∶x2＝3∶4，故A、B、D错误，C正确。3．下列位移—时间图像中，均表示物体做直线运动，其中表示物体做匀速直线运动的速度为2m/s的图像是(  )解析：选B 由于xt图像的斜率等于速度，则由图像可得出vA＝m/s＝m/s，vB＝m/s＝2m/s，vC＝－m/s＝－2m/s，D物体做变速运动，由此可得出，B正确，A、C、D均错误。4．物体从斜面顶端由静止开始滑下，经t s到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为(  )A.tsB.sC．2tsD.ts解析：选A 设斜面的总长度为x，有＝at2，x＝at′2，综合两式得，t′＝t。故A正确，B、C、D错误。故选A。5．一辆汽车做匀加速直线运动，经过路旁两棵相距50m的树共用时间5s，它经过第二棵树时的速度是15m/s，则它经过第一棵树时的速度是(  )A．2m/sB．10m/sC．5m/sD．2.5m/s解析：选C 汽车的平均速度为：＝＝m/s＝10m/s，因为＝，则汽车经过第一棵树时的速度为：v1＝2－v2＝2×10m/s－15m/s＝5m/s。故C正确，A、B、D错误。6．(多选)某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，设质点的初速度为v0，加速度为a，下列说法正确的是(  )A．v0＝4m/s，a＝4m/s2B．v0＝4m/s，a＝8m/s2C．前2s内的位移为24mD．2s末的速度为24m/s解析：选BC 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4m/s，a＝8m/s2，A错误，B正确。把t＝2s代入公式可得x＝24m，C正确。由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2s代入可得v＝20m/s，D错误。7.(多选)如图1所示为甲、乙两物体运动的xt图像，则下列说法正确的是(  )图1A．甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动B．两物体的初速度都为零C．在t1时间内两物体平均速度大小相等D．相遇时，甲的速度大于乙的速度解析：选ACD 由xt图像形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，两物体的初速度大小不能确定，故A对，B错。0～t1时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，C对。t1时刻甲、乙相遇，根据xt图像斜率等于速度大小的特点知，v甲＞v乙，D对。 8．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3s内的位移是2m，第4s内的位移是2.5m，那么以下说法正确的是(  )A．第2s内的位移是2.5mB．第3s末的瞬时速度是2.25m/sC．前3s的平均速度是m/sD．质点的加速度是0.5m/s2解析：选BD 由Δx＝aT2，得a＝＝m/s2＝0.5m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2s内的位移x2＝1.5m，同理第1s内的位移x1＝1m，前3s的平均速度＝＝＝1.5m/s，A、C错误，D正确；第3s末的速度等于第2～4s内的平均速度，所以v3＝＝2.25m/s，B正确。9.一质点做直线运动的vt图像如图2所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为(  )图2A．0.25m/s 向右B．0.25m/s 向左C．1m/s 向右D．1m/s 向左解析：选B 根据速度图像与坐标轴所围的“面积”大小等于位移，则得前3s内质点的位移为x1＝m＝3m；后5s内质点沿负方向运动，位移为负值，则位移为x2＝－m＝－5m故前8s内的位移为x＝x1＋x2＝－2m，前8s内平均速度为＝＝m/s＝－0.25m/s，即平均速度大小为0.25m/s，方向向左，B正确。10．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2。则物体运动的加速度为(  )A.B. C.D.解析：选A 灵活选用推论解题，可使解题过程简单。两连续相等位移的中间时刻的瞬时速度分别为v1、v2，它们与这两连续位移的平均速度相等，则v1＝，v2＝。由加速度定义式得a＝＝＝，即选项A正确。11．一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，求：(1)开始制动后，前2s内汽车行驶的距离。(2)开始制动后，前5s内汽车行驶的距离。解析：汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4s。(1)因为t1＝2s＜t，所以汽车2s末没有停止运动故x1＝v0t1＋at12＝m＝30m。(2)因为t2＝5s＞t，所以汽车5s时早已停止运动故x2＝v0t＋at2＝m＝40m。答案：(1)30m (2)40m12．矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经过5s速度达到4m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，经过4s停在井口，则矿井的深度为多少？解析：因为升降机从井底到井口的运动分为三个阶段：匀加速、匀速、匀减速解法一：(1)匀加速上升阶段a1＝＝0.8m/s2h1＝a1t12＝×0.8×52m＝10m。(2)匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20m＝80m。(3)匀减速上升阶段a3＝＝m/s＝1m/s2h3＝a3t32＝×1×42m＝8m所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝(10＋80＋8)m＝98m。 解法二：本题如用平均速度来解就不用求a1、a3，而只要根据＝，x＝t就可求解。(1)匀加速上升阶段h1＝1t1＝t1＝×5m＝10m。(2)匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20m＝80m。(3)匀减速上升阶段h3＝3t3＝t3＝×4m＝8m。所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝10m＋80m＋8m＝98m。答案：98m