学案3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[目标定位] 1.理解位移公式的意义和导出过程．知道匀变速直线运动的位移与v－t图象中四边形面积的对应关系.2.能运用位移公式、匀变速直线运动的v－t图象解决有关问题.3.掌握匀速直线运动x－t图象的特点，会用它解决简单的问题．一、用v－t图象求位移[问题设计]1．某物体以5m/s的速度做匀速直线运动，求物体在8s内的位移．画出物体运动的v－t图象．物体的位移用v－t图象能反映出来吗？答案 40m．v－t图象如图所示．图象中的面积(图中阴影区域)表示物体的位移．2．某物体做匀变速直线运动，初速度v0＝2m/s，经过10s的时间，末速度v＝6m/s，其v－t图象如图1所示．在v－t图象中如何来表示这10s内的位移呢？并求出位移．图1答案 物体的位移可以用v－t图象与t轴所围的“面积”表示．物体在这10s内的位移为x＝×10m＝40m.3．阅读课本，请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明v－t图象与t轴所围面积表示位移．答案 (1)把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移≈每段起始时刻速度×14
每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积之和．(2)把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．(3)把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．[要点提炼]无论是匀速直线运动还是匀变速直线运动，物体在t时间内的位移都可以用v－t图象与t轴所包围的面积表示．1．当“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同．2．当“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反．[延伸思考]如果物体运动的v－t图象是曲线，如图2所示，则物体在10s内的位移________(填“＞”、“＝”或“＜”)40m.图214
答案 ＞二、匀变速直线运动的位移公式[问题设计] 一个物体做匀变速直线运动，其运动的v－t图象如图3所示．已知物体的初速度为v0，加速度为a，运动时间为t.请根据v－t图象和速度公式求出物体在t时间内的位移(即推导位移与时间的关系式)．图3答案 v－t图线下面梯形的面积表示位移S＝(＋)·把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(v0＋v)t①又因为v＝v0＋at②由①②式可得x＝v0t＋at2这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式．[要点提炼]匀变速直线运动的位移与时间的关系：x＝v0t＋at2.1．两种特殊形式(1)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．(2)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．2．公式的矢量性公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．若选v0的方向为正方向，则：(1)物体加速，a取正值；物体减速，a取负值．14
(2)若位移为正值，位移的方向与正方向相同；若位移为负值，位移的方向与正方向相反．三、用x－t图象表示位移[问题设计] 一列火车沿直线轨道运动，图4描述了它相对于出发点的位移随时间变化的情况．图4(1)火车最远时距离出发点多少米？(2)试分析火车各阶段的运动状态．答案 (1)90m.(2)火车在前2.5min内以0.6m/s(v＝＝0.6m/s)的速度做匀速直线运动，在2.5min至3min内火车停在距出发点90m的位置．[要点提炼]1．由x－t图象可以知道：(1)物体在某一时刻所处的位置．(2)任何时间内的位移(大小和方向)，或发生一段位移所需要的时间．(3)物体某一时刻的速度：x－t图象的斜率表示速度．2．两种常见运动的x－t图象(1)匀速直线运动的x－t图象为倾斜直线，斜率大小是恒定的，表示速度不变．(2)匀变速直线运动的x－t图象为抛物线(或抛物线的一部分)，斜率的大小是变化的，由斜率的变化情况可以得知速度的变化情况．3．注意：无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹，图象不能描述“曲线运动”．一、位移时间关系式x＝v0t＋at2的基本应用例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝2m/s2，求：14
(1)第5s末物体的速度多大？(2)前4s的位移多大？(3)第4s内的位移多大？解析 (1)第5s末物体的速度由v＝v0＋at1得v1＝0＋2×5m/s＝10m/s(2)前4s的位移由x1＝v0t＋at2得x1＝0＋×2×42m＝16m(3)物体第3s末的速度v2＝v0＋at2＝0＋2×3m/s＝6m/s则第4s内的位移x2＝v2t3＋at＝6×1m＋×2×12m＝7m答案 (1)10m/s (2)16m (3)7m二、利用v－t图象求物体的位移例2 图5是直升机由地面竖直向上起飞的v－t图象，试计算直升机能到达的最大高度及25s时直升机所在的高度．图5解析 首先分析直升机的运动过程：0～5s直升机做匀加速运动；5～15s直升机做匀速运动；15～20s直升机做匀减速运动；20～25s直升机做反向的匀加速运动．分析可知直升机所能到达的最大高度为题图中t轴上方梯形的面积，即S1＝600m．25s时直升机所在高度为S1与图线CE和t轴所围成的面积S△CED的差，即S2＝S1－S△CED＝(600－100)m＝500m.答案 600m 500m三、对x－t图象的认识例3 如图6所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )图6A．t＝0时，A在B的前面B．B在t2时刻追上A，并在此后运动到A的前面C．B开始运动的速度比A的小，t2时刻后才大于A的速度D．A运动的速度始终比B的大14
解析 t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对．t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后运动到A的前面，B对．B开始运动的速度比A的小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错．答案 AB四、刹车类问题例4 一辆汽车正在平直的公路上以72km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5m/s2，求：(1)开始制动后，前2s内汽车行驶的距离．(2)开始制动后，前5s内汽车行驶的距离．解析 汽车的初速度v0＝72km/h＝20m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4s.(1)因为t1＝2st，所以汽车5s时早已停止运动故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40m(注意：也可以用逆向思维法，即对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动．此题可以用如下解法：x2＝at2＝×5×42m＝40m)．答案 (1)30m (2)40m匀变速直线运动的位移与时间的关系1．(位移与时间关系式的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为( )14
A.B.C．2tD．4t答案 C解析 由位移公式得x＝at2,4x＝at′2，所以＝，故t′＝2t，C正确．2．(由v－t图象求位移)某物体运动的v－t图象如图7所示，根据图象可知，该物体( )图7A．在0到2s末的时间内，加速度为1m/s2B．在0到5s末的时间内，位移为10mC．在0到6s末的时间内，位移为7.5mD．在0到6s末的时间内，位移为6.5m答案 AD解析 在0到2s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝m/s2＝1m/s2，故A正确.0到5s内物体的位移等于梯形面积x1＝(×2×2＋2×2＋×1×2)m＝7m，故B错误．在5s到6s内物体的位移等于t轴下面三角形面积x2＝－(×1×1)m＝－0.5m，故0到6s内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5m，C错误，D正确．3．(对x－t图象的认识)甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会，甲同学继续骑车前行，在70min时到家，甲同学的x－t图象如图8所示，下列说法正确的是( )图8A．在前20min内甲同学做匀加速运动B．甲同学在乙同学家停留了30minC．甲、乙两同学家相距3.6kmD．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2m/s答案 BCD解析 前20min，甲同学做匀速直线运动，A错.20～50min甲同学一直在乙同学家，B对．甲、乙两同学家的距离为8.4km－4.8km＝3.6km，C对．甲同学从学校到家的位移x＝8.4km＝8.4×10－3m，所用时间t＝70min＝4200s，平均速度v＝＝14
m/s＝2m/s，D对．4．(刹车类问题)一滑块在水平面上以10m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2.求：(1)滑块3s时的速度；(2)滑块10s时的速度及位移．答案 (1)4m/s (2)0 25m解析 取初速度方向为正方向，则v0＝10m/s，a＝－2m/s2由t＝得滑块停止所用时间t＝s＝5s(1)由v＝v0＋at得滑块经3s时的速度v1＝10m/s＋(－2)×3m/s＝4m/s(2)因为滑块5s时已经停止，所以10s时滑块的速度为0,10s时的位移也就是5s时的位移，由x＝v0t＋at2得x＝(10×5－×2×52)m＝25m题组一 匀变速直线运动的位移1．根据匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋，关于做匀加速直线运动的物体在t秒内的位移，下列说法正确的是( )A．加速度大的物体位移大B．初速度大的物体位移大C．末速度大的物体位移大D．以上说法都不对答案 D解析 由x＝v0t＋at2知，x的大小与初速度、加速度、时间都有关，t一定时，x与两个量有关，不能简单地说初速度大或加速度大，位移一定大，A、B、C均错，D对．2．某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，设质点的初速度为v0，加速度为a，下列说法正确的是( )A．v0＝4m/s，a＝4m/s2B．v0＝4m/s，a＝8m/s214
C．前2s内的位移为24mD．2s末的速度为24m/s答案 BC解析 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋at2相对照即可判定v0＝4m/s，a＝8m/s2，A错误，B正确．把t＝2s代入公式可得x＝24m，C正确．由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2s代入可得v＝20m/s，D错误．3．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s末的速度达到4m/s，物体在第2s内的位移是( )A．6mB．8mC．4mD．1.6m答案 A解析 根据速度时间公式v1＝at1，得a＝＝m/s2＝4m/s2.第1s末的速度等于第2s初的速度，所以物体在第2s内的位移x2＝v1t2＋at＝4×1m＋×4×12m＝6m．故选A.题组二 利用v－t图象求位移4．—质点沿x轴做直线运动，其v－t图象如图1所示．质点在t＝0时位于x＝0处，开始沿x轴正向运动．当t＝8s时，质点在x轴上的位置为( )图1A．x＝3mB．x＝8mC．x＝9mD．x＝0答案 A解析 在v－t图象中图线与时间轴所围的面积表示了质点的位移，由v－t图象可知，在0～4s内图线位于时间轴的上方，表示质点沿x轴正方向运动，其位移为正，x1＝m＝6m，在4～8s内图线位于时间轴的下方，表示质点沿x轴负方向运动，其位移为负，x2＝－m＝－3m,8s内质点的位移为：6m＋(－3m)＝3m，故A正确．14
5．某军事试验场正在平地上试射地对空导弹，若某次竖直向上发射导弹时发生故障，造成导弹的v－t图象如图2所示，则下述说法中正确的是( )图2A．0～1s内导弹匀速上升B．1～2s内导弹静止不动C．3s末导弹回到出发点D．5s末导弹恰好回到出发点答案 D解析 v－t图象的斜率代表加速度，0～1s斜率不等于0，且斜率恒定，即物体在做匀变速运动，A错.1～2s内斜率为0但速度不等于0，为匀速直线运动，B错．v－t图象与时间轴所围成的面积代表位移，时间轴以上代表位移为正，时间轴以下代表位移为负，所以3s末导弹位移最大，即到达最高点，5s末总位移为0，导弹回到出发点，C错，D对．6.质点做直线运动的v－t图象如图3所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为( )图3A．0.25m/s；向右B．0.25m/s；向左C．1m/s；向右D．1m/s；向左答案 B解析 由题图得前8s内的位移x＝[×3×2＋×5×(－2)]m＝－2m，则平均速度＝＝m/s＝－0.25m/s，负号表示方向向左．B正确．7．竖直升空的火箭，其速度—时间图象如图4所示，由图可知以下说法正确的是( )图4A．火箭在40s时速度方向发生变化B．火箭上升的最大高度为48000mC．火箭经过120s落回地面D．火箭经过40s到达最高点14
答案 B解析 由速度—时间图象知，火箭前40s向上匀加速运动，40～120s向上做匀减速直线运动，所以A、C、D错．上升的最大高度x＝×800×120m＝48000m，B对．题组三 对x－t图象的理解8.质点沿直线运动，其位移—时间图象如图5所示，关于质点的运动，下列说法中正确的是( )图5A．2s末质点的位移为零，前2s内位移为“－”，后2s内位移为“＋”，所以2s末质点改变了运动方向B．2s末质点的位移为零，该时刻质点的速度为零C．质点做匀速直线运动，速度大小为0.1m/s，方向与规定的正方向相反D．质点在4s时间内的位移大小为0.4m，位移的方向与规定的正方向相同答案 D解析 由题图可知：质点从距原点负方向0.2m处沿规定的正方向做匀速直线运动，经4s运动到正方向0.2m处，在x－t图象中，“＋”号表示质点在坐标原点正方向一侧，“－”号表示质点位于原点的负方向一侧，与质点实际运动方向无关，位移由“－”变为“＋”并不表示质点运动方向改变．由图象的斜率可得质点运动速度大小为0.1m/s，综上所述，选项A、B、C错误，D正确．9．如图6所示为甲、乙两物体运动的x－t图象，则下列说法正确的是( )图6A．甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动B．两物体的初速度都为零C．在t1时间内两物体平均速度大小相等D．相遇时，甲的速度大于乙的速度答案 ACD解析 由x－t图象形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，两物体的初速度大小不能确定，故A对，B错.0～t114
时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，C对．t1时刻甲、乙相遇，根据x－t图象斜率等于速度大小的特点知，v甲>v乙，D对．10．甲、乙两物体在同一直线上运动的x－t图象如图7所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点．则从图象可以看出( )图7A．t2到t3这段时间内甲的速度大于乙的速度B．乙比甲先出发C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处D．甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙答案 AC解析 在t2～t3这段时间内，甲的图线斜率大于乙的图线斜率，所以甲的速度大于乙的速度，A项正确．由题图知甲和乙同时出发，且乙在甲前面x0处，故B项错，C项正确．在t3时刻，甲追上了乙，D项错．题组四 刹车类问题和综合应用11．汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后做匀减速运动经2s速度变为6m/s，求：(1)刹车后2s内前进的距离及刹车过程中的加速度；(2)刹车后前进9m所用时间；(3)刹车后8s内前进的距离．答案 (1)16m －2m/s2 (2)1s (3)25m解析 (1)取初速度方向为正方向，汽车刹车后做匀减速直线运动，由v＝v0＋t1得a＝＝m/s2＝－2m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反．再由x＝v0t＋at2可求得x1＝16m，(2)由位移公式x＝v0t＋at2可得9＝10t＋×(－2)t2，解得t2＝1s(t3＝9s，不符合实际，舍去)，即前进914
m所用时间为1s.(3)设汽车刹车过程所用时间为t′，则汽车经过时间t′速度变为零．由速度公式v＝v0＋at可得t′＝5s，即刹车5s后汽车就已停止运动，在8s内位移即为5s内位移，故x′＝v0t′＋at′2＝(10×5)m＋[×(－2)×52]m＝25m.12．物体由静止开始在水平面上行驶，0～6s内的加速度随时间变化的图象如图8甲所示．图8(1)在图乙中画出物体在0～6s内的v－t图象；(2)求在这6s内物体的位移．答案 (1)见解析图 (2)18m解析 (1)第1s内为初速度为0的匀加速直线运动，末速度v1＝at1＝4m/s，速度—时间图象是倾斜的直线，1～4s加速度为0，速度不变为匀速直线运动，4～6s初速度即第1s的末速度v1＝4m/s，加速度a′＝－2m/s2，末速度v6＝v1＋a′t2＝0，第1s和最后2s的速度—时间图象是倾斜的直线，图象如图所示．(2)速度—时间图象与t轴所围成的面积代表位移，即x＝m＝18m13．在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．某段高速公路的最高车速限制为108km/h.设某人驾车正以最高车速沿该高速公路行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5s．计算行驶时的安全车距至少为多少？答案 105m解析 汽车原来的速度v0＝108km/h＝30m/s运动过程如图所示14
在反应时间t1＝0.5s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5m＝15m刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间t2＝s＝6s汽车刹车后滑行的位移为x2＝v0t2＋at＝30×6m＋×(－5)×62m＝90m所以行驶时的安全车距应为x＝x1＋x2＝15m＋90m＝105m14
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